Lexikon der Kartographie und Geomatik: Kriging-Verfahren
Kriging-Verfahren, E variants of kriging, Sammelbezeichnung für geostatistischen Verfahren, im engeren Sinn die zahlreichen Erweiterungen des Krigings. Die einzelnen Verfahren berücksichtigen zum einen die speziellen Eigenschaften der Datengrundlage, zum anderen die häufigsten Zielsetzungen der Datenauswertung. Seit Matheron die "Theorie der Regionalisierten Variablen" veröffentlichte, wurden sehr viele Adaptionen und Erweiterungen der "Kriging-Methode" vorgenommen. Für die englischen Fachtermini gibt es nur teilweise deutsche Übersetzungen.
Die wichtigsten Kriging-Verfahren sind: 1. normales Kriging, E ordinary kriging, OK, ist der "normale", lineare Kriging-Fall; die Daten erfüllen die Voraussetzung der Stationarität, d. h. der Mittelwert ist konstant, es liegt keine großräumige Drift in den Daten vor. Damit ist eine Interpolation möglich, die das a priori-Wissen über den Mittelwert nicht notwendigerweise voraussetzt. Diese Form des Krigings kann durchgeführt werden als:
a) Punktkriging, bei dem der Mittelwert einer regionalisierten Variable in begrenztem Bereich (lokal) geschätzt wird (einfachster Fall). Zur Berechnung vgl. Kriging, das Resultat ist ein exakter Wert. Als Anwendungsbereiche sind zu nennen: Auffüllen von Datenlücken und regelmäßige Rasteranordnung als Basis einer Isoliniendarstellung.
Punktkriging ist eigentlich ein Sonderfalls des
b) Block- oder Volumenkriging, bei dem durchschnittliche Werten über eine Fläche oder ein Volumen einer zwei- (drei-) dimensionalen, regionalisierten Variable geschätzt werden. Meistens wird Isotropie angenommen. Dieses Verfahren wird am häufigsten für geologische oder hydrogeologische Fragestellungen eingesetzt.
2. einfaches Kriging, E simple kriging, ist eine Abwandlung der Kriging-Methode, bei der a priori-Informationen über die Datengrundlage einfließen, z. B. wenn der Mittelwert der Daten bekannt ist. Dieser Wert wird von den original Stichprobenwerten subtrahiert, anschließend wird mit den Residuen gearbeitet. Obwohl die Interpolation dadurch vereinfacht wird, kann einfaches Kriging aufgrund der erforderlichen Annahmen dieser speziellen Methode seltener angewendet werden als andere Kriging-Verfahren.
3. universal Kriging, UK, heißt das lineare Krigingverfahren in Anwesenheit einer Drift. Eine Drift, d. h. eine lokale Fluktuation, liegt vor, wenn das experimentelle Variogramm und das Residuen-Variogramm schon bei geringen Distanzen divergieren. Existenz und Art der lokalen Drift können durch Kreuzvalidierung nachgewiesen werden. Durch Zerlegung des Erwartungswertes E [Z(x)] in eine Driftkomponente m(x) und eine Residualkomponente Y(x) wird die Eigenschaft der Stationarität erfüllt:
Z(x) = Y(x) + m(x) mit E[Y(x)] = 0 und m(x) =
als Polynomansatz.
Die gängigen Kriging-Interpolationsmethoden berücksichtigen a) eine konstante Drift
m(x) = const.,
b) eine lineare Drift
m(x1,x2) = a0 + a1x1 + a2x2 und c) eine quadratische Drift.
Theoretisch können auch höherwertige Polynomialfunktionen verwendet werden. Die mathematische Berechnung gleicht in Fall a) dem OK-Gleichungssystem, in Fall b) und c) wird dies ergänzt durch die Driftkomponenten. So gesehen, ist Ordinary Kriging (OK) eigentlich ein Sonderfall des Universal Krigings (UK) und zwar ohne Trendkomponente.
4. Kokriging, E cokriging, bedeutet lineares und multivariates Krigingverfahren, das die Korrelation verschiedener Variablen in einem Untersuchungsgebiet ausnutzt. Der Schätzwert der Variable U* an einer bestimmten Stelle x0 wird nicht nur durch die benachbarten Werte von U(xi) bestimmt, sondern zusätzlich durch die Messwerte der Variable V(xj), an der gleichen Stelle und in der Umgebung. Der Aufwand ist höher als beim univariaten Kriging, da beide Variogramme und das gemeinsame Kreuzvariogramm berechnet und modelliert werden müssen. Ist die zu untersuchende Variable jedoch zu wenig beprobt oder schwer zu messen und die Korrelation zu einer besser in räumlicher Auflösung und/oder Messgenauigkeit beprobten Variable hoch, so liefert Kokriging eine sehr gute Schätzung. Der Kokrigingansatz entspricht dem OK mit einer Linearkombination der beiden Variablen:
ai, bj: Gewichtungsfaktoren, mit
und
Anwendungsbeispiele sind geochemische oder hydrochemische Daten, Schwermetalle einer Lagerstätte, Abbauwürdigkeit von Erzen in Abhängigkeit von Verunreinigungen.
5. Indikatorkriging, E indicator kriging, ist ein nichtlineares Krigingverfahren, das kein neues mathematisches Verfahren erfordert, sondern nur eine geeignete Codierung der Daten verlangt. Neben der Analyse der räumlichen Verteilung von qualitativen Daten ist die Schätzung der lokalen Verteilungsfunktion einer regionalisierten Variable möglich.
6. sonstige Verfahren: Neben dem einfachen Indikatorkriging gibt es Weiterentwicklungen wie multi-indicator kriging, probability kriging und soft kriging. Zu den linearen Verfahren zählt Kriging mit externer Drift (KED), das eine großräumige Trendvariable mit einbeziehen und damit über den Wertebereich der Stichprobe hinaus extrapolieren kann. Als weitere Verfahren sind zu nennen: Disjunktives Kriging (disjunctive kriging), Zufallskriging (random kriging), verteilungsfreies Kriging (Rank Uniform Kriging).
MSR
Literatur: [1] CLARK, I. & HARPER, B. (2000): Practical Geostatistics 2000. Columbus, Ohio USA. [2] SCHAFMEISTER, M.-T. (1999): Geostatistik für die hydrogeologische Praxis. Berlin. [3] WACKERNAGEL, H. (1995): Multivariate Geostatistics. Berlin.
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