lange Zeit offene Vermutung in der Approximationstheorie im Zusammenhang mit der rationalen Approximation der Funktion f(x) = exp(−x) auf [0, ∞).

Die Formulierung benötigt etwas Vorbereitung. Es bezeichne R_{m, n} die Menge der rationalen Funktionen mit Zählergrad m und Nennergrad n und ϱ_{m, n} die Minimalabweichung bei der Approximation von f durch R_{m, n} auf dem Intervall [0, ∞) in der Maximumnorm, also \begin{eqnarray}{\varrho }_{m,n}=\mathop{\inf }\limits_{r\in {R}_{m,n}}{\Vert r-f\Vert }_{\infty }.\end{eqnarray}

Bereits 1973 wurde bewiesen, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{({\varrho }_{0,n})}^{1/n}=\frac{1}{3},\end{eqnarray} und es entstand die Vermutung, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{({\varrho }_{n,n})}^{1/n}=\frac{1}{9},\end{eqnarray} die 1/9-Vermutung.

Nachdem hochgenaue numerische Berechnungen bereits Mitte der achziger Jahre den Verdacht aufkommen ließen, daß die Vermutung falsch ist, wurde dann zu Ende des gleichen Jahrzehnts auch theoretisch bewiesen, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{({\varrho }_{n,n})}^{1/n} & = & \exp \left(\frac{-\pi \cdot K(\sqrt{1-{c}^{2}})}{K(c)}\right)\\ & \approx & \frac{1}{9.289025}\ne \frac{1}{9}.\end{array}\end{eqnarray}

Hierbei ist c die eindeutige Lösung der Gleichung \begin{eqnarray}K(c)=2\cdot E(c)\end{eqnarray} im Intervall (0, 1), und K und E bezeichnen das vollständige elliptische Integral erster bzw. zweiter Art.