Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: χ2-Anpassungstest für Verteilungsfunktionen

ein Signifikanztest zur Prüfung der Hypothese \begin{eqnarray}H:F={F}_{0}\end{eqnarray} gegen die Alternative \begin{eqnarray}K:F\ne {F}_{0},\end{eqnarray} wobei F die unbekannte Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X und F0 eine vorgegebene bekannte Verteilungsfunktion sind.

Zum Testen der Hypothese H wird eine Stichprobe vom Umfang n durchgeführt und im Fall, daß X stetig ist, eine geeignete Klasseneinteilung K1,…, Kk mit Kj = [xj, xj+1) gewählt. Die verwendete Testgröße ist \begin{eqnarray}T=\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\frac{{({H}_{j}-n{p}_{j})}^{2}}{n{p}_{j}},\end{eqnarray} wobei Hj die beobachtete absolute Klassenhäufigkeit der j-ten Klasse und npj mit \begin{eqnarray}{p}_{j}={F}_{0}({x}_{j+1})-{F}_{0}({x}_{j})\end{eqnarray} die unter der Annahme der Gültigkeit von H erwartete absolute Klassenhäufigkeit der j-ten Klasse sind.

Ist X diskret mit dem Wertebereich A = {a1,…,ak}, so sind Hj die Häufigkeit des Auftretens von aj in der Stichprobe und pj die Wahrscheinlichkeit für aj unter der Annahme der Gültigkeit von H.

Die Testgröße T besitzt bei Gültigkeit von H asymptotisch für n → ∞ eine χ2-Verteilung mit k − 1 Freiheitsgraden.

Der kritische Wert ϵ, mit dem T verglichen wird, ist das (1 − α)-Quantil \begin{eqnarray}\varepsilon ={\chi }_{k-1}^{2}(1-\alpha )\end{eqnarray} der χ2-Verteilung mit k − 1 Freiheitsgraden.

Ist T >ϵ, so wird H abgelehnt, andernfalls angenommen. Der Fehler erster Art dieses Tests ist asymptotisch für n → ∞ gleich α.

Sind in der vorgegebenen Verteilungsfunktion F0 noch m unbekannte Parameter enthalten, so werden diese zunächst nach der Maximum-Likelihood- Methode geschätzt. T besitzt dann asymptotisch eine χ2-Verteilung mit k − 1 − m Freiheitsgraden, weshalb der kritische Wert ϵ in diesem Fall durch das (1 − α)-Quantil \begin{eqnarray}\varepsilon ={\chi }_{k-1-m}^{2}(1-\alpha )\end{eqnarray} der χ2-Verteilung mit k − 1 − m Freiheitsgraden ersetzt wird.

Um eine gute Approximation der Verteilung von T durch die χ2-Verteilung zu erreichen, wird empfohlen, die Klassen mit npj < 5 zusammenzufassen, so daß schließlich für alle Klassen npj ≤ 5 gilt.

Ein bekanntes Beispiel ist der χ2-Anpassungstest für Normalverteilungen.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.