oft auch mit \({\chi }_{n}^{2}\)-Verteilung bezeichnetes Wahrscheinlichkeitsmaß, n ∈ ℕ.

In der Regel meint man, wenn man von einer χ²-Verteilung mit n Freiheitsgraden spricht, die zentrale \({\chi }_{n}^{2}\)-Verteilung, welche die Dichte \begin{eqnarray}{f}_{{\chi }_{n}^{2}}:{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\ni\,x\to \frac{1}{{2}^{n/2}\Gamma (n/2)}{e}^{-{x}^{2}/2}{x}^{n/2-1}\in {{\mathbb{R}}}^{+}\end{eqnarray} besitzt, wobei Γ die (vollständige) Eulersche Γ-Funktion bezeichnet.

Die zugehörige Verteilungsfunktion ist \begin{eqnarray}{F}_{{\chi }_{n}^{2}}:{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\ni\,x\to \frac{{\Gamma }_{x/2}(n/2)}{\Gamma (n/2)}\in [0,1].\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet Γ_x(a) die unvollständige Gamma-Funktion.

Eine Zufallsvariable X besitzt genau dann eine zentrale \({\chi }_{n}^{2}\)-Verteilung, wenn sie wie die Summe der Quadrate von n unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen verteilt ist.

Besitzt X eine zentrale \({\chi }_{n}^{2}\)-Verteilung, so gilt für den Erwartungswert E(X) = n und für die Varianz Var(X) = 2n.

In der Praxis wird meist nur mit den Quantilen der χ²-Verteilung gearbeitet, die tabelliert vorliegen.

Die χ²-Verteilung liegt dem χ²-Anpassungstest, dem χ²-Unabhängigkeitstest und dem χ²-Homogenitätstest zugrunde. Außerdem wird sie zur Bestimmung von Konfidenzintervallen für Varianzen verwendet.

Die Formel der χ²-Verteilung geht auf dem Astronomen F.R.Helmert (1875) zurück; den Namen gab ihr aber erst der bekannte englische Statistiker Karl Pearson im Jahre 1900.