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Lexikon der Mathematik: a-Stelle

eine Stelle z0D mit f(z0) = a, wobei f : D → ℂ eine holomorphe Funktion und D ⊂ ℂ eine offene Menge ist.

Ist f in einer Umgebung von z0 nicht konstant, so ist die Vielfachheit v(f, z0) ∈ ℕ der α-Stelle Zo von f definiert als die Nullstellenordnung o(g, z0) der Nullstelle z0 der Funktion g := fa. Statt Vielfachheit sagt man auch Multiplizität. Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1. Der Wert a wird von f an der Stelle z0 mit der Vielfachheit n ∈ ℕ angenommen.
  2. Es gibt eine in D holomorphe Funktion h mit h(z0) ≠ 0 und f(z) = a + (zz0)nh(z) für alle zD.
  3. Es gilt f(z0) = α, f(k)(z0) = 0 für k = 1, …, n – 1 und f(n)(z0) ≠ 0.

Insbesondere gilt v(f, z0 = 1 genau dann, wenn f′(z0) ≠ 0.

Schließlich gilt folgender Satz:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f eine in G holomorphe Funktion, die nicht konstant ist. Dann ist für jedes a ∈ ℂ die Menge

\begin{eqnarray}{f}^{-1}(a):=\{z\in G:f(z)=a\}\end{eqnarray}

der α-Stellen von f diskret und abgeschlossen in G (eventuell leer), d. h. f–1 (a) besitzt keinen Häufungspunkt in G. Insbesondere ist für jede kompakte Menge KG die Menge f–1(a) ⋂ K endlich, und f–1(а) ist eine höchstens abzählbare Menge.

Die Menge f–1 (a) kann allerdings eine unendliche Menge sein und Häufungspunkte auf ∂G besitzen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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