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Lexikon der Mathematik: Abbildung zwischen Flächen

gesondert zu betrachtende Art von Abbildungen. Unter den Flächenabbildungen sind von besonderem Interesse

  1. isometrische Abbildungen oder Abwicklungen,
  2. Ähnlichkeitsabbildungen,
  3. winkeltreue oder konforme Abbildungen,
  4. affine Abbildungen,
  5. flächentreue oder inhaltstreue Abbildungen.

Zur analytischen Beschreibung einer Abbildung \(f: {\mathcal F} \to \bar{ {\mathcal F} }\) dienen Parameterdarstellungen \(\bar{\Phi }\)(u1, u2) und Φ(u1, u2), die auf dem gleichen Parameterbereich U ⊂ ℝ2 definiert sind. In diesen Parametern wird f als differenzierbare Abbildung von U in sich durch ein Paar \({\bar{u}}_{1}={\bar{u}}_{1}({u}_{1},{u}_{2}),{\bar{u}}_{2}={\bar{u}}_{2}({u}_{1},{u}_{2})\) differenzierbarer Funktionen beschrieben. Wählt man statt der Bezeichnung E, F, G (bzw. \(\bar{E},\bar{F},\bar{G}\)) für die Koeffizienten die Indexschreibweise g11 = E, g12 = g21 = F, g22 = G (bzw. \({\bar{g}}_{11}=\bar{E},{\bar{g}}_{12}={\bar{g}}_{21}=\bar{F},{\bar{g}}_{22}=\bar{G}\)), so transformiert sich die erste Gaußsche Fundamentalform \(\bar{ {\mathcal F} }\) nach der Formel \begin{eqnarray}{\bar{g}}_{ij}({u}_{1},{u}_{2})=\displaystyle \sum _{r,s=1}^{2}{\bar{g}}_{\bar{r},\bar{s}}({\bar{u}}_{1},{\bar{u}}_{2})\frac{\partial {\bar{u}}_{r}({u}_{1},{u}_{2})}{\partial {u}_{i}}\frac{\partial {\bar{u}}_{s}({u}_{1},{u}_{2})}{\partial {u}_{j}},\end{eqnarray}

wobei \({\bar{g}}_{\bar{r},\bar{s}}\) die Koeffizienten der bezüglich der Koordinaten \(({\bar{u}}_{1},{\bar{u}}_{2})\) gebildeten ersten Fundamentalform sind.

Die folgende Tabelle enthält die Charakterisierungen der verschiedenen Abbildungstypen anhand der Koeffizienten \({\bar{g}}_{ij}\) und gij. Eine Abbildung ist

• isometrisch, wenn \({\bar{g}}_{ij}={g}_{ij}\) gilt,

• eine Ähnlichkeitsabbildung, wenn \({\bar{g}}_{ij}={c}^{2}{g}_{ij}\) gilt mit einer Konstanten c,

• winkeltreu, wenn \({\bar{g}}_{ij}={c}^{2}{g}_{ij}\) gilt, wobei c jetzt vom Punkt abhängen darf,

• affin, wenn die Christoffelsymbole gleich sind: \({\bar{\Gamma }}_{ij}^{k}={\Gamma }_{ij}^{k}\),

• geodätisch, wenn geodätische Linien in geodätische Linien überführt werden,

• inhaltstreu, wenn det \(({\bar{g}}_{ij})=\det ({g}_{ij})\) gilt und

• im wesentlichen inhaltstreu, wenn det \(({\bar{g}}_{ij})={c}^{2}\det ({g}_{ij})\) gilt mit einer Konstanten c.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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