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Lexikon der Mathematik: Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten

Sammelbegriff, der insbesondere die im folgenden erklärten Isometrien, isometrischen Immersionen und Einbettungen, konformen Abbildungen und konformen Immersionen und Einbettungen beinhaltet.

Es seien (M, g) und (N, h) Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit den metrischen Fundamental-formen g und h. Eine Abbildung f : MN heißt isometrische Immersion, wenn die lineare tangierende Abbildung f in den Tangentialräumen als isometrische Einbettung wirkt, d. h., wenn für alle Punkte xM und alle Tangentialvektoren 𝔱, 𝔰 ∈ Tx(M) die Bedingung \begin{eqnarray}h({f}_{* }({\mathfrak{t}}),{f}_{* }({\mathfrak{s}}))=g({\mathfrak{t}},{\mathfrak{s}})\end{eqnarray}

erfüllt ist, und eine isometrische Einbettung, wenn sie außerdem eine bijektive Abbildung auf eine Untermannigfaltigkeit \(\tilde{M}\subset N\) ist. Bildet f zudem M bijektiv auf N ab, und ist f eine bijektive Abbildung der Tangentialräume, so nennt man f eine Isometrie von M und N.

Zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten heißen isometrisch, wenn eine isometrische Abbildung der einen auf die andere existiert. Die Verknüpfung f1f2 zweier Isometrien f1, f2 : MM ist ebenso wie die inverse Abbildung \({f}_{1}^{-1}\) wieder eine Isometrie. Daher bildet die Menge aller Isometrien einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M in sich eine Gruppe, die Isometriegruppe I(M).

Gilt anstelle von (1) die allgemeinere Bedingung \begin{eqnarray}h({f}_{* }({\mathfrak{t}}),{f}_{* }({\mathfrak{s}}))=\lambda g({\mathfrak{t}},{\mathfrak{s}})\end{eqnarray}

mit einer positiven reellen Funktion λ : M → ℝ+, so nennt man f eine konforme oder winkeltreue Abbildung oder auch konforme Immersion. Konforme Diffeomorphismen und die konforme Gruppe einer Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert man analog zu den Isometrien und der Isometriegruppe und konforme Einbettungen analog zu den isometrischen Einbettungen. Einfachste Beispiele kon-former Abbildungen sind Ähnlichkeitsabbildungen zwischen Flächen.

Die einfachsten Beispiele nichtlinearer konformer Abbildungen sind die stereographische Projektion und die polare Inversion der Ebene, d. h. die Spiegelung der Ebene am Einheitskreis.

Zu erwähnen sind auch affine und geodätische Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Erstere bilden geodätische Linien unter Erhalt des affinen Parameters in geodätische Linien ab. Man nennt sie auch affine Transformationen. Bei geodätischen Abbildungen bleiben geodätische Linien ebenfalls erhalten. Die Forderung nach Er-halt des affinen Parameters wird jedoch nicht gestellt.

Unter den Abbildungen, die weder injektiv noch konform noch isometrisch sind, sind Riemannsche Submersionen von Interesse. Das sind surjektive Abbildungen f : MN, für die auch f surjektiv ist und die die Bedingung (1) nur für solche Vektoren 𝔱, 𝔰 ∈ T(M) erfüllen müssen, die auf den Tangentialräumen der Untermannigfaltigkeiten f−1(y) ⊂ M (für yN), die man auch die Fasern von f nennt, senkrecht stehen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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