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Lexikon der Mathematik: abc-Vermutung

auf Oesterlé und Masser (1986) zurückgehende zahlentheoretische Vermutung:

Zu jedem ε > 0 gibt es eine effektiv berechenbare Konstante K(ε) derart, daß für beliebige ganze Zahlen a, b, c mit a + b = c und ggT(a, b, c) = 1 die Ungleichung \begin{eqnarray}\max \{|a|,|b|,|c|\}\le K(\varepsilon ){\left(\prod _{p|abc}p\right)}^{1+\varepsilon }\end{eqnarray}richtig ist.

Das Produkt in (1) ist der sog. quadratfreie Kern von abc; es erstreckt sich über alle Primfaktoren von abc, wobei jeder nur einmal gezählt wird.

Die abc-Vermutung wurde anläßlich einiger von Szpiro durchgeführter Untersuchungen über elliptische Kurven mit der Gleichung \begin{eqnarray}{y}^{2}=x(x-a)(x+b)\end{eqnarray} aufgestellt. Aus der abc-Vermutung lassen sich einige allgemeine Endlichkeitssätze über Diophantische Gleichungen herleiten, z. B.:

  1. die Fermat-Catalansche Gleichung besitzt nur endlich viele ganzzahlige Lösungen,
  2. die Catalansche Gleichung (Catalansche Vermutung) besitzt nur endlich viele ganzzahlige Lösungen,
  3. es gilt die Mordellsche Vermutung mit effektiv berechenbaren Konstanten,

um nur einige wenige zu nennen.

1. ist noch offen, 2. wurde 1976 von Tijdeman bewiesen, und die Mordellsche Vermutung folgt aus einem 1983 publizierten Satz von Faltings; allerdings liefert Faltings’ Resultat keine effektiven oberen Abschätzungen für die Anzahl der Lösungen.

Die Tatsache, daß einige Konsequenzen der abc-Vermutung bereits als schwierig zu beweisende Sätze bekannt sind, erhöht einerseits den Reiz und die Plausibilität der abc-Vermutung, und deutet andererseits darauf hin, daß ein Beweis der abcVermutung ziemlich aufwendig sein dürfte.

Da die abc-Vermutung keine Aussage über die Größe der Konstanten K(ε) (außer der effektiven Berechenbarkeit) enthält, ist es nicht möglich, sie durch computergestützte Rechnungen plausibel zu machen oder zu widerlegen.

Ein Beweis der abc-Vermutung steht zur Zeit (Ende 1999) noch aus.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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