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Lexikon der Mathematik: Abel, Konvergenzkriterium von

Kriterium zur Überprüfung der Konvergenz einer Reihe.

Um die Konvergenz einer Reihe mit beliebigen Gliedern zu erkennen, wird man zunächst überprüfen, ob sie sich mit Hilfe der absoluten Konvergenz (absolut konvergente Reihe, Konvergenzkriterien für Reihen) erschließen läßt. Ist das nicht möglich, oder ist die Reihe nicht absolut konvergent, so stehen zur Feststellung der etwaigen Konvergenz der Reihe der direkte Konvergenznachweis, das Cauchy-Konvergenzkriterium für Reihen und das Leibniz-Kriterium zu Verfügung. Ein weiteres – in seinen Grundgedanken auf Niels Henrik Abel zurückgehendes – Kriterium, das bei vielen wichtigen Typen von Reihen herangezogen werden kann, ist:

Ist die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\)konvergent und die Folge (bv) monotonund beschränkt, so konvergiert auch die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{b}_{v}.\end{eqnarray}

Man hat auch eine entsprechende Aussage für gleichmäßige Konvergenz. (Konvergenzkriterien für Reihen).

[1] Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. Teubner-Verlag Stuttgart, 1993.
[2] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis I. Spektrum Akademischer Verlag, 1996.
[3] Walter, W.: Analysis 1. Springer-Verlag Berlin, 1992.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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