Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Abel, Satz von

besagt, daß die allgemeine Gleichung vom Grad ≥ 5 nicht durch Radikale lösbar ist. Dies bedeutet, daß es keinen Lösungsalgorithmus gibt, der auf eine beliebige Gleichung vom Grad ≥ 5 angewendet, ihre Nullstellen durch eine Abfolge rationaler Operationen und k-tes Wurzelziehen (auch Bildung von Radikalen genannt) aus den Koeffizienten der Gleichung bestimmt.

Der Beweis benutzt die Galois-Theorie. Die Galoisgruppe der allgemeinen algebraischen Gleichung vom Grad n ist die symmetrische Gruppe Sn von n Elementen. Für n ≥ 5 ist die Sn eine nicht auflösbare Gruppe. Eine Gleichung ist jedoch genau dann durch Radikale auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe auflösbar ist. Deshalb existiert kein Lösungsalgorithmus. Im Gegensatz hierzu sind die Gruppen S2, S3 und S4 auflösbar. Dementsprechend gibt es für Gleichungen des Grades zwei, drei und vier Lösungsalgorithmen. Für den Grad zwei sind es die bekannten Lösungsformeln der quadratischen Gleichung, für den Grad drei die Cardanischen Lösungsformeln.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos