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Lexikon der Mathematik: abelsche Kategorie

eine additive Kategorie, in der

  1. jeder Morphismus einen Kern und einen Kokern besitzt und
  2. jeder Monomorphismus ein Kern und jeder Epimorphismus ein Kokern ist.

In einer abelschen Kategorie kann jeder Morphismus ϕ : AB aus einem Epimorphismus, gefolgt von einem Monomorphismus zusammengesetzt werden.

Genauer gilt: Es existiert eine Sequenz \begin{eqnarray}K\mathop{\to }\limits^{\mu }A\mathop{\to }\limits^{\eta }I\mathop{\to }\limits^{v}B\mathop{\to }\limits^{\varepsilon }C\end{eqnarray} wobei μ der Kern von φ, η der Kokern von μ, ν der Kern von ε und φ = ν ∘ η. Das Objekt I wird auch als das Bild von φ bezeichnet.

Das Standardbeispiel einer abelschen Kategorie ist die Kategorie der abelschen Gruppen. Die Morphismen sind die Gruppenhomomorphismen. Sie bilden selbst eine abelsche Gruppe unter der punktweisen Addition. Das Nullobjekt ist die Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht. Der Kern eines Morphismus f : AB ist die Einbettung des gruppentheoretischen Kerns \begin{eqnarray}\{x\in A|f(x)=0\}.\end{eqnarray} Der Kokern ist die natürliche Faktorabbildung BB/Im f.

Weitere Beispiele sind die Kategorie der Module über einem kommutativen Ring und die Kategorie der Garben abelscher Gruppen über einem topologischen Raum.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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