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Lexikon der Mathematik: abelsche Lie-Algebra

Lie-Algebra, bei der das Lie-Produkt kommutativ ist.

Beispiel: Die Algebra, die sich aus der Translationsgruppe des Euklidischen Raums ergibt, ist eine abelsche Lie-Algebra, da sich auch bei Vertauschung der Reihenfolge mehrerer Translationen dieselbe Gesamtabbildung ergibt.

Das Lie-Produkt zweier Elemente a, b der Lie- Algebra wird meist mit [a, b] bezeichnet.

Jede Lie-Algebra ist definitionsgemäß antikom- mutativ, d. h. \begin{eqnarray}[a,b]=-[b,a].\end{eqnarray} Die Kommutativität für die abelschen Lie-Algebren bedeutet jedoch [a, b] = [b, a]. Beides gemeinsam ergibt, daß das Lie-Produkt einer abelschen Lie-Algebra stets identisch verschwindet. Folglich spielt dieser Begriff nur im Wechselspiel mit nicht- abelschen Lie-Algebren (z. B. der Algebra der räumlichen Drehungen) eine echte Rolle.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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