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Lexikon der Mathematik: abelsche Varietät

eine zusammenhängende komplette algebraische Varietät A mit einer Gruppenoperation A × AA, die durch einen Morphismus von algebraischen Varietäten m : A × AA (Multiplikation) und i : AA (Inverse) gegeben wird. Das einfachste Beispiel sind elliptische Kurven.

Aus der Komplettheit folgt bereits, daß die Gruppenoperation kommutativ ist. Jede abelsche Varietät besitzt eine projektive Einbettung.

Jeder Morphismus φ : AB der den abelschen Varietäten zugrundeliegenden Varietäten hat die Form φ(x) = φ(x) + b, wobei φ0 ein Morphismus ist, der die Gruppengesetze respektiert. Insbesondere ist also durch den Nullpunkt das Gruppengesetz auf A schon eindeutig bestimmt.

Nimmt man als Grundkörper den der komplexen Zahlen, so kann man eine analytische Theorie entwickeln, die historisch tatsächlich zuerst entstanden ist. Die zugrundeliegende komplexe Mannigfaltigkeit von A ist eine kompakte kommutative Lie-Gruppe, also liefert die Exponentialfunktion aus der Theorie der Lie-Gruppen einen Isomorphismus \(V/\Gamma \mathop{\to }\limits^{\sim}A\), wobei V ein komplexer Vektorraum ist, g = dim V = dim (A), und Γ ein Gitter in V (d.h. eine endlich erzeugte Untergruppe so, daß Γ ⊗ ℝ → V bijektiv ist), also ein komplexer Torus.

Eine projektive Einbettung von A induziert eine Kählermetrik auf A (und auf V), deren Imaginärteil eine ganzzahlige Kohomologieklasse repräsentiert. Durch “Mittelwertbildung“ kann man annehmen, daß die auf V induzierte Metrik konstant ist. Daher besitzt V eine positiv definite Hermitesche Form H, deren Imaginärteil ganzzahlig auf dem Gitter ist. Ein solche Hermitesche Form heißt Riemannsche Form. Wenn umgekehrt für ein Gitter Γ ⊂ V eine Riemannsche Form existiert, so besitzt der komplexe Torus V/Γ eine analytische Einbettung in einen projektiven Raum, ist also eine abelsche Varietät.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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