Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Abelscher Grenzwertsatz

macht eine Aussage über die Stetigkeit einer durch eine Potenzreihe dargestellten Funktion für Randstellen.

Allgemeine Sätze über Stetigkeit und Differen- zierbarkeit einer solchen Funktion beziehen sich zunächst nur auf innere Punkte des Konvergenzbereiches der Potenzreihe. Der Abelsche Grenzwertsatz (hier in spezieller Form) ergänzt diese Überlegungen:

Hat die reelle Potenzreihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{x}^{v}\end{eqnarray}den endlichen positiven Konvergenzradius R, und ist sie zudem für x = R konvergent, so ist die durch die Potenzreihe im Intervall (−R, R] definierte Funktion in R linksseitig stetig. Es gilt also \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to R-}\left(\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{x}^{v}\right)=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{R}^{v}.\end{eqnarray}

Eine Anwendung ist beispielsweise – in Verbindung mit dem Leibniz-Kriterium und der Taylor-Entwicklung für Arcustangens um 0 – die berühmte Leibniz-Reihe: \begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{v=0}\frac{{(-1)}^{v}}{2v+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\pm \cdots \end{eqnarray} (Konvergenzkriterien für Reihen).

[1] Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. Teubner-Verlag Stuttgart, 1993.
[2] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis I. Spektrum Akademischer Verlag, 1996.
[3] Walter, W.: Analysis 1. Springer-Verlag Berlin, 1992.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos