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Lexikon der Mathematik: abgeleiteter Funktor

derivierter Funktor, aus einem additiven Funktor hergeleiteter Funktor, dessen exakte Definition wie folgt gegeben ist.

Seien 𝒜 und ℬ abelsche Kategorien und sei F : 𝒜 → ℬ ein additiver kovarianter Funktor. Besitzt die Kategorie 𝒜 genug projektive Objekte, d. h. jedes Objekt A aus 𝒜 besitzt eine projektive Auflösung, dann besitzt F linksabgeleitete Funktoren \begin{eqnarray}{L}_{n}F:{\mathscr{A}}\to {\mathcal B} \,\quad\text{f}\mathop{\text{u}}\limits^{\mathrm{..}}\text{r}\quad\,n=0,1,2\ldots \end{eqnarray} Die abgeleiteten Funktoren LnF sind additiv.

Die Linksableitungen werden wie folgt konstruiert. Sei \begin{eqnarray}{P}^{A}:\quad\,\to {P}_{n}\to {P}_{n-1}\to \cdots \to {P}_{0}\to 0\end{eqnarray} eine projektive Auflösung eines Objektes A aus 𝒜. Wendet man den Funktor F auf diese Sequenz an, so erhält man einen Komplex \begin{eqnarray}F({P}^{A}):\quad\to F{P}_{n}\to F{P}_{n-1}\to \cdots \to F{P}_{0}\to 0\end{eqnarray} in ℬ.

Die Funktorabbildung des n-ten linksabgeleiteten Funktors LnF für die Objekte ist gegeben durch die n-te Homologiegruppe dieses Komplexes: \begin{eqnarray}{L}_{n}F(A):={H}_{n}(F({P}^{A})).\end{eqnarray} Die Definition ist bis auf kanonische Isomorphie unabhängig von der Auflösung PA.

Die Funktorabbildung für die Morphismen ist wie folgt definiert. Ist α : AA ein Morphismus in 𝒜, so definiert dieser zuerst Morphismen PAPA′ und weiter kanonische Abbildungen auf den Homologiegruppen \begin{eqnarray}{L}_{n}F(A)\to {L}_{n}F({A}^{^{\prime} }).\end{eqnarray} Diese Abbildungen sind LnF(α).

Die Kategorie \({\mathscr{A}}\) besitze genügend injektive Okjekte, d. h. jedes Objekt besitze eine injektive Auflösung. Dann sind die rechtsabgeleiteten Funktoren RnF des additiven kovarianten Funktors \(F:{\mathscr{A}}\to {\mathcal B} \) definiert.

Ausgehend von einer injektiven Auflösung \begin{eqnarray}{I}^{A}:\quad0\to {I}_{0}\to {I}_{1}\to {I}_{2}\to \cdots \end{eqnarray} erhält man durch Anwendung des Funktors F einen Komplex \begin{eqnarray}F({I}^{A}):\quad0\to F{I}_{0}\to F{I}_{1}\to F{I}_{2}\to \cdots \end{eqnarray} in \( {\mathcal B} \).

Die n-te Funktorabbildung RnF auf den Objekten ist die n-te Kohomologiegruppe \begin{eqnarray}{R}^{n}F(A):={H}^{n}(F({I}^{A})).\end{eqnarray}

Die Funktorabbildung RnF(α) für die Morphismen werden entsprechend definiert.

Für kontravariante Funktoren vertauschen die projektiven und injektiven Auflösungen ihre Rollen, da bei der Anwendung des Funktors sich die Pfeile umdrehen. Ansonsten bleiben die Definitionen gleich.

Die lange exakte Sequenz abgeleiteter Funktoren gibt eine Beziehung zwischen den Ableitungen n-ter und (n + 1)-ter Ordnung.

Beispiele abgeleiteter Funktoren:

(a) Sei ModR die Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring R. Diese Kategorie ist abelsch und hat genügend injektive und projektive Objekte. Das Tensorprodukt mit dem Modul B \begin{eqnarray}A\to {F}_{B}(A):=B\otimes A\end{eqnarray} definiert einen additiven kovarianten Funktor.

Die Linksableitungen dieses Funktors liefern die Torsionsmodule \begin{eqnarray}A\to To{r}_{n}^{R}(B,A).\end{eqnarray}(b ) Es sei dieselbe Kategorie zugrunde gelegt. Der Funktor sei \begin{eqnarray}A\to {F}^{B}(A):={\text{Hom}}_{R}(A,B),\end{eqnarray} die Zuordnung der R-linearen Abbildungen von А nach B. Dies ist ein kontravarianter additiver Funktor. Seine Rechtsableitungen liefern die Extensionsmodule \(Ex{t}_{R}^{n}(A,B)\).

(с) Sei X ein topologischer Raum und \({\mathscr{A}} {\mathcal B} \) die Kategorie der Garben abelscher Gruppen über X. Der globale Schnittfunktor Γ(&KHgr;,.) ist definiert durch die Zuordnung \begin{eqnarray}{\mathscr{G}}\to \Gamma (X,G):={\mathscr{G}}(X).\end{eqnarray}

Seine rechtsabgeleiteten Funktoren sind die Kohomologiefunktoren. Sie liefern die Kohomologiegruppen \({H}^{n}(X,{\mathscr{G}})\) der Garbe \({\mathscr{G}}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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