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Lexikon der Mathematik: abgeschlossener komplexer Raum

Riemannsche Zahlensphäre, Erweiterung der komplexen Zahlenebene durch Hinzunahme des unendlich fernen Punktes.

Den meromorphen Funktionen kann man in ihren Polen keine komplexe Zahl sinnvoll als Wert zuordnen. Diese Schwierigkeit kann dadurch behoben werden, daß die Zahlenebene ℂ durch Hinzunahme eines neuen Elementes erweitert wird, welches mit dem Symbol „∞“ bezeichnet und unendlich ferner Punkt oder einfach unendlich genannt wird. Man setzt also \begin{eqnarray}\hat{{\mathbb{C}}}:={\mathbb{C}}\cup \{\infty \},\end{eqnarray} und nennt \(\hat{{\mathbb{C}}}\) den abgeschlossenen komplexen Raum oder die Riemannsche Zahlensphäre.

Die Topologie von \({\mathbb{C}}\) wird so zu einer Topologie von \(\hat{{\mathbb{C}}}\) fortgesetzt, daß meromorphe Funktionen stetige \(\hat{{\mathbb{C}}}\)-wertige Abbildungen werden, wenn man ihnen in den Polen den Wert ∞ zuschreibt. Damit wird \(\hat{{\mathbb{C}}}\) ein kompakter topologischer Raum. \(\hat{{\mathbb{C}}}\) läßt sich als topologischer Raum mit der zweidimensionalen Einheitssphäre S 2 identifizieren (die Kompaktheit von \(\hat{{\mathbb{C}}}\) läßt sich dann auch aus der Kompaktheit von S 2 folgern). Diese Identifikation vermittelt eine gute Vorstellung von der Geometrie „in der Nähe von ∞“. Allerdings erlauben Addition und Multiplikation komplexer Zahlen keine einfache geometrische Interpretation auf der Zahlensphäre.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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