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Lexikon der Mathematik: Abrundung

Funktion, die einer reellen Zahl x die größte in einem Stellenwertsystem zu einer Basis b mit einer Genauigkeit bk darstellbare rationale Zahl ⌊xb,k mit ⌊xb,kx zuordnet, wobei 2 < b ∈ ℕ und k ∈ ℤ.

In der Ь-Darstellung von ⌊xb,k sind also die Ziffern zu den Potenzen bj mit j < k gleich 0. Für x ≥ 0 entspricht das Abrunden einem Weglassen der Ziffern nach der Position bk in der b-Darstellung von x (bzw. ihrer Ersetzung durch die Ziffer 0), was sich auch durch \({\lfloor x\rfloor }_{b,k}=\lfloor \frac{x}{{b}^{k}}\rfloor {b}^{k}\) ausdrücken läßt mit der floor-Funktion ⌊⌋.

Beispielsweise gilt ⌊12345678⌋10,2 = 12345600 und ⌊π⌋10,–2 = 3.14. Für x ≤ 0 gilt ⌊xb,k = −⌊−xb,k mit der Aufrundung ⌈⌉b,k.

⌊⌋b,0 = ⌊⌋ ist die Abrundung auf ganze Zahlen, 0 ≤ x – ⌊xb,kbk für x ∈ ℝ zeigt, daß der Fehler wie bei der Aufrundung höchstens bk beträgt. Beim Runden nach der Rundungsregel kann der Fehler nur halb so groß werden. Allgemeiner kann man für eine Menge M ⊂ ℝ, z. B. der endlichen Menge der in einem Computer darstellbaren Maschinenzahlen, nach der Abrundung von x in M fragen, also der größten in M enthaltenen Zahl ⌊xM mit ⌊xMx.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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