Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: absolut konvergentes Integral

ein uneigentliches Riemann-Integral \(\displaystyle {\int }_{a}^{b}f(x)dx\), wobei auch a = – und b = zulässig sind, für das gilt: \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx\quad\text{konvergiert}.\end{eqnarray}

Jedes absolut konvergente Riemann-Integral konvergiert auch im gewöhnlichen Sinn. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, wie das Beispiel \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin x}{x}dx\end{eqnarray} zeigt.

Für Funktionen mit Werten in einem Banachraum E gilt folgende Definition: Sei Ω ⊂ ℝ N eine meßbare Menge. Eine Funktion f : Ω → E heißt absolut integrierbar, falls x ↦ ||f(x)|| meßbar ist und \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Omega }||f(x)||dx\end{eqnarray} existiert.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos