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Lexikon der Mathematik: absolut konvergentes unendliches Produkt

ein Produkt der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+{a}_{n})\end{eqnarray} mit an ∈ ℂ mit der Eigenschaft, daß die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|\) konvergiert.

Der Wert eines absolut konvergenten unendlichen Produkts ist genau dann von 0 verschieden, wenn alle Faktoren (1 + an) von 0 verschieden sind. Ist \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{n}\) eine normal konvergente Reihe holomorpher Funktionen fn in einer offenen Menge D ⊂ ℂ, so definiert das unendliche Produkt \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+{f}_{n})\end{eqnarray} eine holomorphe Funktion F : D → ℂ. Die Nullstellenmenge von F ist die Vereinigung der Nullstellenmengen der Funktionen 1 + fn, n ∈ ℕ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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