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Lexikon der Mathematik: absolut stetige Funktion

Funktion, die bezüglich der Lebesgue-meßbaren Mengen eine Stetigkeitseigenschaft hat.

Ist \( {\mathcal L} \) die Menge der Lebesgue-meßbaren Teilmengen auf ℝ, so heißt eine Funktion \(\phi : {\mathcal L} \to {\mathbb{R}}\) absolut stetig, falls es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so daß aus λ(A) < δ stets schon |φ(A)| < ϵ folgt. Dabei ist λ das Lebesgue-Maß auf ℝ.

Zu jeder reellwertigen und σ-additiven absolutstetigen Funktion φ gibt es eine Lebesgue-integrierbare Funktion ƒ, so daß für alle \(A\in {\mathcal L} \) gilt: \(\phi (A)=\displaystyle {\int }_{A}f(x)dx\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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