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Lexikon der Mathematik: absolut stetige Zufallsvariable

Zufallsvariable X, deren Verteilung &Rgr;X absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maß λ ist, d. h. für jede Borel-Menge A folgt aus λ(A) = 0 auch PX(A) = 0.

Nach dem Satz von Radon-Nykodim besitzt jede absolut stetige Zufallsvariable X eine Dichte fX bezüglich λ. Für jede Borel-Menge A gilt dann \begin{eqnarray}{P}_{X}(A)=P(X\in A)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}{f}_{X}(x)\lambda (dx).\end{eqnarray} Einführende Darstellungen in die Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnen eine Zufallsvariable X oft als absolut stetig, wenn eine Wahrscheinlichkeitsdichte fX existiert, so daß für alle a, b ∈ ℝ mit a < b die Wahrscheinlichkeit P(a < X ≤ b) mit Hilfe der Formel \begin{eqnarray}P(a\lt X\le b)=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{X}(x)dx\end{eqnarray} berechnet werden kann.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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