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Lexikon der Mathematik: absolute Geometrie

Geometrie in der von den Axiomen der Geometrie die Axiomengruppen I-IV (Inzidenz-, Anordnungs-, Kongruenz- und Stetigkeitsaxiome), nicht jedoch das euklidische Parallelenaxiom (V) vorausgesetzt werden. Die absolute Geometrie umfaßt damit sowohl die Euklidische Geometrie als auch die nichteuklidische hyperbolische Geometrie (nicht jedoch die ebenfalls nichteuklidische Elliptische Geometrie).

In der absoluten Geometrie gelten demnach alle Sätze, die sich aus den o. g. Axiomengruppen ableiten lassen, nicht allerdings die vielen bekannten Sätze der Elementargeometrie, die auf dem Parallelenaxiom basieren – wie z. B. die Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen oder der Innenwinkelsatz für Dreiecke. Statt des bekannten Außenwinkelsatzes (nach dem jeder Außenwinkel eines Dreiecks so groß ist wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel) gilt – als sehr bedeutsamer Satz der absoluten Geometrie – nur der sogenannte schwache Außenwinkelsatz:

Jeder Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist kleiner als jeder nichtanliegende Außenwinkel.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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