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Lexikon der Mathematik: absolute Summierbarkeit

eine zusätzliche Bedingung an die Summierbarkeit. Die Definition von absoluter Summierbarkeit bezieht sich stets auf das verwendete Summationsverfahren. Das verdeutlichen die zwei folgenden wichtigen Beispiele:

  1. Durch
\begin{eqnarray}M={(({a}_{kn}))}_{1\le k,n\lt \infty }\end{eqnarray}

sei eine unendlich-dimensionale Matrix gegeben. Die Folge (sn) heißt absolut summierbar gemäß der Methode M oder |M|-summierbar mit Grenzwert s, falls gilt:

  • (sn) ist summierbar mit Grenzwert s gemäß der Methode M, d. h. \({\sigma }_{k}=\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{\alpha }_{km}\) existiert für k ε ℕ und \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{\sigma }_{k}=s.\)
  • (σk) ist von beschränkter Variation, d. h. \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|{\sigma }_{k+1}-{\sigma }_{k}|\lt \infty .\end{eqnarray}
  • Sind die Folgenglieder (sn) die Partialsummen einer unendlichen Reihe \(\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_{k}\), so heißt auch diese Reihe |M|-summierbar mit Grenzwert s.

    2) Die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_{k}\) heißt absolut summierbar gemäß dem Abelschen Summationsverfahren, falls die Funktion \(f(r)=\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_{k}{r}^{k}\) auf 0 ≤ r ≤ 1 von beschränkter Variation ist.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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