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Lexikon der Mathematik: Absolutnorm

Kenngröße eines Ideals.

Die Absolutnorm eines vom Nullideal verschiedenen Ideals \({\mathfrak{a}}\) im Ganzheitsring \({{\mathscr{O}}}_{K}\) eines algebraischen Zahlkörpers ist definiert durch die Ordnung der Faktorgruppe \({{\mathscr{O}}}_{K}/{\mathfrak{a}}\), also den Index \begin{eqnarray}{\mathfrak{N}}(\mathfrak{a})=[{{\mathscr{O}}}_{K}:\mathfrak{a}].\end{eqnarray} Die Absolutnorm eines gebrochenen Ideals \({\mathfrak{b}}\) ⊂ K ist durch \begin{eqnarray}{\mathfrak{N}}(\mathfrak{b})=|\det B|\end{eqnarray} gegeben, wobei B die Übergangsmatrix einer ℤ-Basis von \({{\mathscr{O}}}_{K}\) zu einer ℤ-Basis von \({\mathfrak{b}}\) ist; man kann zeigen, daß |det B| unabhängig von der Wahl der ℤ-Basen und somit die Absolutnorm wohldefiniert ist.

Für die Absolutnorm gilt die Produktformel \begin{eqnarray}{\mathfrak{N}}(\mathrm{\mathfrak{ab}})={\mathfrak{N}}({\rm{\mathfrak{a}}})\cdot {\mathfrak{N}}({\rm{\mathfrak{b}}}).\end{eqnarray} Ist \({\mathfrak{p}}\) ein Primideal in \({{\mathscr{O}}}_{K}\), so ist \begin{eqnarray}{\mathfrak{p}}\cap {\mathbb{Z}}=p{\mathbb{Z}}\end{eqnarray} für eine Primzahl p, und die Absolutnorm ist eine Potenz von p: \begin{eqnarray}{\mathfrak{N}}(\mathfrak{p})={p}^{f(\mathfrak{p})},\end{eqnarray} wobei der Exponent f(\({\mathfrak{p}}\)) der Trägheitsgrad von \({\mathfrak{p}}\) (über p) ist.

Man unterscheidet die Absolutnorm eines (gebrochenen) Ideals, die stets eine nichtnegative rationale Zahl ist, von der Relativnorm eines (gebrochenen) Ideals, die selbst wieder ein (gebrochenes) Ideal ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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