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Lexikon der Mathematik: Abspaltung von Nullstellen

das Abtrennen von Nullstellen eines Polynoms durch Abdividieren eines linearen Polynoms.

Der mathematische Satz, der diese Aussage formalisiert, wird oft auch als Abspaltungslemma bezeichnet:

Sei g(x) ein Polynom über einem Körper \({\mathbb{K}}\)und sei α1K eine Nullstelle von g(x), d.h. es gilt g(α1) = 0.

Dann kann g(x) ohne Rest duch das lineare Polynom (xα1) dividiert werden.

Man erhält \begin{eqnarray}g(x)={g}^{(1)}(x)\cdot (x-{\alpha }_{1})\end{eqnarray}mit einem Polynom g (1)(x), dem Quotienten, mit einem um Eins erniedrigten Grad.

Dieser Prozeß heißt Abspaltung einer Nullstelle.

Besitzt der Quotient g (1) ebenfalls eine Nullstelle α2 ∈ K, so kann dieser Schritt rekursiv ausgeführt werden solange, bis der Quotient keine Nullstellen mehr besitzt. Ist der letzte Quotient ein konstantes Polynom, so erhält man durch diesen Algorithmus die Zerlegung in Linearfaktoren des Ausgangspolynoms g(x).

Es folgt hieraus sofort, daß ein Polynom vom Grad n mit Koeffizienten aus \({\mathbb{K}}\) genau dann über \({\mathbb{K}}\) in Linearfaktoren zerfällt, wenn es (mit Vielfachheiten gezählt) genau n Nullstellen aus \({\mathbb{K}}\) besitzt.

Ist \({\mathbb{K}}\) ein algebraisch abgeschlossener Körper, so kann jedes Polynom durch Abspaltung von Nullstellen in Linearfaktoren zerlegt werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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