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Lexikon der Mathematik: Abwicklung einer Tangentenfläche in die Ebene

spezielle isometrische Abbildung.

Da jede Tangentenfläche \({\mathscr{F}}\) konstante Gaußsche Krümmung 0 hat und alle Flächen konstanter Gaußscher Krümmung untereinander lokal isometrisch sind, muß eine Abwicklung von \({\mathscr{F}}\) in die Ebene existieren.

Eine explizite Konstruktion erfordert die Lösung der natürlichen Gleichung der ebenen Kurve, deren Krümmung mit der Krümmung der Basiskurve α(s) von \({\mathscr{F}}\) übereinstimmt.

Es sei s der Bogenlängenparameter auf α und Φ2(u, \(\upsilon \)) = α(u) + \(\upsilon \)α’(u) die zugehörige Parameterdarstellung von \({\mathscr{F}}\) Dann erhält man die Ausdrücke \begin{eqnarray}E(u,\upsilon )=1+{\upsilon }^{2}{k}^{2}(u),\end{eqnarray}G(u, v) = F(u, v) = 1 für die Koeffizienten E, F, G der ersten Gaußschen Fundamentalform von \({\mathscr{F}}\). Dabei ist k 2(s) = |α’(s)|2 das Quadrat der Krümmung von α(s). Berechnet man aus den natürlichen Gleichungen die ebene Kurve β(s) mit der Krümmungsfunktion k(s), so gilt auch k 2(s) = |β’(s)|2.

Man bildet dann zur Kurve β(s), die man als eine in der xy-Ebene enthaltene Raumkurve ansieht, die Tangentenfläche Φ1(u, \(\upsilon \)) = β(u) + \(\upsilon \)β’(u). Diese ist einerseits eine ebene Fläche, und andererseits stimmen wegen \begin{eqnarray}{k}^{2}(s)=|{\beta }^{^{\prime} }(s){|}^{2}=|{\alpha }^{^{\prime} }(s){|}^{2}\end{eqnarray} die Koeffizienten der ersten Gaußschen Fundamentalform von Φ2 mit denen von Φ2 überein. Diese Übereinstimung ist hinreichend daß \({\Phi }_{2}\circ {\Phi }_{1}^{-1}\) eine Abwicklung von \({\mathscr{F}}\) auf die Ebene ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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