Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Additionstheorem der Cosinus- und der Sinusfunktion

stellt eine Beziehung her zwischen dem Wert dieser Funktionen in der Summe zweier Argumente und den Werten der Funktionen in den einzelnen Argumenten.

Genauer gilt für 𝓌, 𝓏 ∈ ℂ: \begin{eqnarray}\cos ({\mathscr{w}}\pm {\mathscr{z}}) & = & \cos {\mathscr{w}}\cos {\mathscr{z}}\mp \sin {\mathscr{w}}\sin {\mathscr{z}},\\ \sin ({\mathscr{w}}\pm {\mathscr{z}}) & = & \sin {\mathscr{w}}\cos {\mathscr{z}}\pm \cos {\mathscr{w}}\sin {\mathscr{z}}.\end{eqnarray}

Hieraus ergeben sich unzählige weitere nützliche Formeln, wie z. B. \begin{eqnarray}{\cos }^{2}{\mathscr{z}}+{\sin }^{2}{\mathscr{z}}=1, & \\ \cos 2{\mathscr{z}}={\cos }^{2}{\mathscr{z}}-{\sin }^{2}{\mathscr{z}}, & \sin 2{\mathscr{z}}=2\sin {\mathscr{z}}\cos {\mathscr{z}}\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}\cos {\mathscr{w}}-\cos {\mathscr{z}} & = & -2\sin \frac{1}{2}({\mathscr{w}}+{\mathscr{z}})\sin \frac{1}{2}({\mathscr{w}}-{\mathscr{z}}),\\ \sin {\mathscr{w}}-\sin {\mathscr{z}} & = & 2\cos \frac{1}{2}({\mathscr{w}}+{\mathscr{z}})\sin \frac{1}{2}({\mathscr{w}}-{\mathscr{z}}).\end{eqnarray}

Die Cosinus- und Sinusfunktion können auch durch das Additionstheorem charakterisiert werden. Es gilt nämlich folgender Satz:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet mit 0 ∈ G und f, g in G holomorphe Funktionen mit \begin{eqnarray}f({\mathscr{w}}+{\mathscr{z}})=f({\mathscr{w}})f({\mathscr{z}})-g({\mathscr{w}})g({\mathscr{z}})\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}g({\mathscr{w}}+{\mathscr{z}})=g({\mathscr{w}})f({\mathscr{z}})+f({\mathscr{w}})g({\mathscr{z}})\end{eqnarray}

für alle 𝓌, 𝓏, 𝓌 + 𝓏 ∈ G. Weiter sei f(0) = 1, f′(0) = 0 und g′(0) = 1.

Dann ist f(𝓏) = cos 𝓏 und g(𝓏) = sin 𝓏 für 𝓏 ∈ G.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos