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Lexikon der Mathematik: additive Kategorie

eine Kategorie 𝒜, die die folgenden zusätzlichen Eigenschaften erfüllt:

(1) Für je zwei Objekte X und Y aus 𝒜 ist Mor(X, Y) eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, für welche die Komposition der Morphismen bilinear ist, d. h., ∀f, f′ : XY und ∀g, g′ : YZ gilt \begin{eqnarray}(g+{g}^{^{\prime} })\circ (f+{f}^{^{\prime} })=g\circ f+g\circ {f}^{^{\prime} }+{g}^{^{\prime} }\circ f+{g}^{^{\prime} }\circ {f}^{^{\prime} }.\end{eqnarray}

(2) Die Kategorie besitzt ein Nullobjekt 0.

(3) Für jedes Paar von Objekten existiert das Biprodukt. Dabei heißt ein Objekt Z Biprodukt von X und Y, falls es Morphismen \begin{eqnarray}{p}_{1}:Z\to X,{p}_{2}:Z\to Y,{i}_{1}:X\to Z,{i}_{2}:y\to Z\end{eqnarray}

gibt mit \begin{eqnarray}{p}_{1}\circ {i}_{1}={1}_{X},{p}_{2}\circ {i}_{2}={1}_{Y},{i}_{1}\circ {p}_{1}+{i}_{2}\circ {p}_{2}={1}_{Z.}\end{eqnarray}

Ein Biprodukt ist sowohl ein Produkt als auch ein Koprodukt im kategoriellen Sinne. In manchen additiven Kategorien wird es auch direkte Summe genannt.

Eine Kategorie, in der nur die Bedingung (1) gilt, heißt präadditive Kategorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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