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Lexikon der Mathematik: adjungierte Darstellung einer Lie-Algebra

Abbildung einer Lie-Algebra in eine geeignete reelle oder komplexe Matrixalgebra.

Genauer gilt: Eine Darstellung einer Lie-Algebra ist eine gruppenoperationserhaltende Abbildung dieser Lie-Algebra in eine geeignete reelle oder komplexe Matrixalgebra. Diese Darstellung heißt adjungiert, wenn sie wie folgt definiert ist: Dem Element x der Algebra wird die Abbildung adx zugeordnet, die durch adx(y) = [x, y] gegeben ist.

Etwas weniger abstrakt ist folgende Definition: Die Dimension der Algebra sei n, und {ei, i = 1, …, n} sei eine Basis. Dann gilt für das Lie-Produkt zweier Basiselemente: \begin{eqnarray}[{e}_{i},{e}_{j}]={C}_{ij}^{k}{e}_{k}.\end{eqnarray}

Die Matrix \begin{eqnarray}{A}_{i}={({C}_{ij}^{k})}_{k,j}\end{eqnarray} ist dann die ei zugeordnete Matrix in der adjungierten Darstellung.

Die reellen und komplexen Matrixalgebren sind besonders gut bekannt und handhabbar. Deshalb werden oft Eigenschaften abstrakter Lie-Algebren durch diese Darstellungsabbildung auf die besser bekannten Matrixalgebren zurückgeführt.

Die der Lie-Algebra zugeordnete Lie-Gruppe ist dann zur Darstellungsalgebra (zumindest lokal) isomorph, d. h., das Lie-Produkt entspricht der Matrizenmultiplikation.

Da mit jedem Element der Lie-Gruppe auch sein Inverses enthalten ist, treten bei diesen Darstellungen nur reguläre (d. h. invertierbare) Matrizen auf.

Wenn verschiedene Gruppenelemente stets auch verschiedenen Matrizen zugeordnet sind, dann heißt die Darstellung treu. Die adjungierte Darstellung ist treu.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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