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Lexikon der Mathematik: adjungierte Differentialgleichung

für eine gegebene lineare, homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung \begin{eqnarray}Ly:=\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{f}_{v}{y}^{(v)}=0,\end{eqnarray}

die Differentialgleichung \begin{eqnarray}L* y:=\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{(-1)}^{v}{({f}_{v}y)}^{(v)}.\end{eqnarray}

L ist der zu L adjungierte Differentialausdruck. Es gilt (L) = L, und für zwei Differentialausdrücke L1, L2 und einen Skalar λ ∈ ℂ ist \begin{eqnarray}{({L}_{1}+{L}_{2})}^{* }={L}_{1}+{L}_{2}, & {(\lambda L)}^{* }=\bar{\lambda }{L}^{* }.\end{eqnarray}

Das Randwertproblem (RWP) Ly = 0, Vμ(y) = 0 ist zu dem RWP Ly = 0, Uμ(y) = 0 adjungiert, wenn L der zu L adjungierte Differentialausdruck ist und die Randbedingungen Vμ adjungiert zu Uμ sind, d. h. für je zwei sog. Vergleichsfunktionen u und v gilt die Greensche Formel in der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}(\upsilon (x)(Lu)(x)-u(x)({L}^{* }\upsilon )(x))dx=0.\end{eqnarray}

Zwei Eigenwertprobleme heißen zueinander adjungiert, wenn sie aufgefaßt als homogene lineare RWP zueinander adjungiert sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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