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Lexikon der Mathematik: Ähnlichkeitsabbildung

Abbildung auf einem normierten linearen Raum X. Eine Funktion S : XX heißt Ähnlichkeitsabbildung, wenn ein c ≥ 0 existiert mit \begin{eqnarray}\Vert S(x)-S(y)\Vert =c\Vert x-y\Vert & \rm{f}{\ddot{u}}\rm{r}\, \rm{alle}\,x,y\in X.\end{eqnarray}

In der Flächentheorie versteht man darunter speziell eine Abbildung f : 12 zweier Flächen 1, 2 ⊂ ℝ3, bei denen die Längen aller Tangentialvektoren um denselben konstanten Faktor λ gestreckt werden. Man nennt eine solche Abbildung daher auch im wesentlichen inhaltstreue Abbildung.

Bei Ähnlichkeitsabbildungen ändert sich das Skalarprodukt von Tangentialvektoren um den konstanten Faktor λ d. h., sind 𝔳, 𝔴 ∈ TP(1) Tangentialvektoren in einem Punkt P1 und f(𝔳), f(𝔴) ∈ Tf(P)(2) ihre Bilder bei f, so gilt f(𝔳) · f(𝔴) = λ 𝔳 · 𝔴. Infolge dieser Eigenschaft bleiben bei Ähnlichkeitsabbildungen die Winkel zwischen Flächenkurven erhalten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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