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Lexikon der Mathematik: Äquivalenz von Flüssen

eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Flüsse.

Die Flüsse (M, ℝ, Φ) und (N, ℝ, Ψ) heißen äquivalent, falls eine bijektive Abbildung h : MN existiert und für jedes xM eine monoton wachsender Homöomorphismus τx : ℝ → ℝ so, daß gilt \begin{eqnarray}h({\Phi}(x,t))={\Psi}(h(x),{\tau }_{x}(t))\end{eqnarray}

für t ∈ ℝ. Dabei werden je nach Bedarf weitere Bedingungen an die Koordinatentransformation h gestellt: Ist h linear, so spricht man von linearer Äquivalenz; ist h ein (Ck-)Diffeomorphismus, von differenzierbarer (Ck-)Äquivalenz, und ist h ein Homöomorphismus, von topologischer Äquivalenz.

Existiert ein c > 0 so, daß für alle xM τx(t) = ct für t ∈ ℝ gilt, so spricht man von Konjugation (manche Autoren sprechen nur für c = 1 von Konjugation) oder Fluß-Äquivalenz.

Die Orbits äquivalenter Flüsse werden durch die Bijektion h aufeinander abgebildet, d. h. für alle xM gilt mit obigen Bezeichnungen: \begin{eqnarray}h({\Phi}(x,\Bbb{R}))={\Psi}(h(x),\Bbb{R}).\end{eqnarray}

Daher spricht man auch von Orbit- oder Bahnen-Äquivalenz. Das monotone Wachsen der Zeittransformation τx für jedes xM garantiert zusätzlich, daß der Durchlaufsinn der Orbits unter der Koordinatentransformation h erhalten bleibt, jedoch muß die Zeitparametrisierung nicht erhalten bleiben, z. B. kann sich die Periodendauer periodischer Punkte ändern. Die Phasenräume äquivalenter dynamischer Systeme haben die gleiche Struktur, wobei auch die (zeitliche) Orientierung der Orbits gleich ist.

Für durch lineare Differentialgleichungssysteme (DGL-Systeme) gegebene dynamische Systeme auf M = N = ℝ n gelten folgende einfache Kriterien:

Seien A, B : ℝ n → ℝ n lineare Abbildungen. Im folgenden bezeichne ΦA bzw. ΦB die aus den Lösungen der DGL-Systeme = Ax bzw. = Bx induzierten dynamischen Systeme mit n als Phasenraum.

  1. Besitzen A und B nur einfache Eigenwerte, so sind Φ A und Φ B genau dann linear äquivalent, wenn die Eigenwerte von A und B gleich sind.
  2. Φ A und Φ B sind genau dann differenzierbar äquivalent, wenn sie linear äquivalent sind.
  3. Besitzen A und B nur Eigenwerte mit Realteil ungleich Null, dann sind Φ A und Φ B genau dann äquivalent, falls die Anzahl der Eigenwerte mit positivem bzw. negativem Realteil bei A und B gleich ist.

[1] Arnold, V.I.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1991.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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