Begriff für die topologische Gleichwertigkeit zweier Metriken auf der gleichen Grundmenge.

Ist X eine Menge und sind d ₁ und d ₂ Metriken auf der Menge X, so heißt d ₁ stärker als d ₂, falls jede Folge (x_n), die in X bezüglich d ₁ gegen ein x ∈ X konvergiert, auch bezüglich d ₂ gegen x konvergiert. In diesem Fall heißt d ₂ schwächer als d ₁.

Falls d ₁ sowohl schwächer als auch stärker als d ₂ ist, nennt man die Metriken äquivalent.

In diesem Fall haben also beide Metriken die gleichen konvergenten Folgen. Dies ist gleichbedeutend damit, daß für jedes x ∈ X jede bezüglich d ₂ offene Kugel um x eine bezüglich d ₁ offene Kugel um x enthält und umgekehrt.

Da es zu jeder Metrik d ₁ eine äquivalente Metrik \begin{eqnarray}{d}_{2}(x,y)=\frac{{d}_{1}(x,y)}{1+{d}_{1}(x,y)}\end{eqnarray}

gibt, für die gilt \begin{eqnarray}{d}_{2}(x,y)\le 1,\end{eqnarray}

kann man die Äquivalenz von Metriken nicht mit Hilfe einer Abschätzung zwischen d ₁ und d ₂ beschreiben.

Beispiel: Ist X = ℝ ⁿ, so sind die drei Metriken \begin{eqnarray}{d}_{1}(x,y) & = & \sqrt{{({x}_{1}-{y}_{1})}^{2}+\cdots +{({x}_{n}-{y}_{n})}^{2},}\\ {d}_{2}(x,y) & = & \max \{|{x}_{1}-{y}_{1}|,\ldots, |{x}_{n}-{y}_{n}|\},\text{und}\\ {d}_{3}(x,y) & = & \displaystyle \sum _{i=1}^{n}|{x}_{i}-{y}_{i}|\end{eqnarray}

äquivalent.