die im folgenden näher erläuterte assoziative \({\mathbb{K}}\)-Algebra

\begin{eqnarray}\wedge V:=\underset{r=0}{\overset{n}{\oplus }}{\wedge }^{r}V\end{eqnarray}

(direkte Summe) zum n-dimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum V. Diese Algebra wird manchmal auch in exakterer Sprechweise als äußere Algebra über V oder auch Graßmann-Algebra bezeichnet.

Sei В = (b₁, …, b_n) eine Basis von V. ∧^rV bezeichnet den \((n\\ r)\)-dimensionalen, von der speziellen Wahl von B unabhängigen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum mit den Basiselementen

\begin{eqnarray}{b}_{{i}_{1}}\wedge \cdots \wedge {b}_{{i}_{r}},\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}1\le {i}_{1}\lt \cdots \lt {i}_{r}\le n.\end{eqnarray}

∧^rV ist isomorph zum Quotientenvektorraum V^r/U_r, wo V^r das r-fache Tensorprodukt des Vektorraumes V bezeichnet, also

\begin{eqnarray}{V}^{r}=V\oplus \cdots \oplus V,\end{eqnarray}

und U_r den von den Tensoren

\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}\oplus \cdots \oplus {\upsilon }_{r}\in {V}^{r}\end{eqnarray}

mit \({\upsilon }_{i}={\upsilon }_{j}\)

für ein Paar i ≠ j ∈ {1, …, r} aufgespannten Untervektorraum von V^r.

Der Vektorraum ∧^rV wird als die r-te äußere Potenz von V bezeichnet. Es gilt \({\wedge }^{0}V={\mathbb{K}}\) und ∧¹V = V. Die Elemente von ∧^rV heißen r- Vektoren. Das Bild eines Tensors

\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}\oplus \cdots \oplus {\upsilon }_{r}\in {V}^{r}\end{eqnarray}

unter der natürlichen Quotientenabbildung q_r von V^r nach v^r/U_r, die jedem Element seine Nebenklasse zuordnet, wird mit

\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}\wedge \cdots \wedge {\upsilon }_{r}\end{eqnarray}

bezeichnet. Die Quotientenabbildung ist r-fach alternierend.

∧^rV ist durch die folgende Eigenschaft charakterisiert: Zu jeder r-fach alternierenden Abbildung (alternierende Multilinearform) f : V^r → W (W ein beliebiger \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum) gibt es genau eine lineare Abbildung f′: ∧^rV → W mit ƒ = f' ∘ q_r. Durch

\begin{eqnarray}\wedge :{\wedge }^{r}V\times {\wedge }^{s}V\to {\wedge }^{r+s}V:({x}_{1}\wedge \ldots \wedge {x}_{r},{y}_{1}\wedge \ldots \wedge {y}_{s})\mapsto {x}_{1}\wedge \cdots \wedge {x}_{r}\wedge {y}_{1}\cdots \wedge {y}_{s}\end{eqnarray}

ist das äußere Produkt gegeben, das einem r-Vektor und einem s-Vektor einen (r + s)-Vektor zuordnet und assoziativ ist.

Ist der Vektorraum V nicht endlich-dimensional, so ist die äußere Algebra über V definiert als die direkte Summe

\begin{eqnarray}\wedge V:=\underset{r=1}{\overset{\infty }{\oplus }}{\wedge }^{r}V,\end{eqnarray}

in der alle ∧^rV vom Nullraum verschieden sind.

Die mit ∧ bezeichnete Multiplikation in ∧V ist nun definiert durch Vorschrift

\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}\wedge {\upsilon }_{2}=\displaystyle \sum _{p,q=1}^{n}{\upsilon }_{{1}_{p}}\wedge {\upsilon }_{{2}_{q}},\end{eqnarray}

wobei

\begin{eqnarray}{\upsilon }_{1}=\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\upsilon }_{{1}_{r}},\,{\upsilon }_{2}=\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\upsilon }_{{2}_{r}}\in \wedge V\end{eqnarray}

und \({\upsilon }_{{1}_{r}},{\upsilon }_{{2}_{r}}\in {\wedge }^{r}V\)

eindeutig bestimmt sind.

Ist V n-dimensional, so gilt

dim ∧V = 2n

(∧V aufgefaßt als \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum).