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Lexikon der Mathematik: affine Abbildung

in der Flächentheorie eine Abbildung f : 12 zweier regulärer Flächen 1, 2 ⊂ ℝ3, die die Christoffelsymbole erhält.

Gleichwertig dazu ist die Verträglichkeit von f mit der absoluten Ableitung. Das bedeutet folgendes: Ist α(t) eine parametrisierte Kurve auf 1, 𝔞(t) ein Vektorfeld längs α(t), α1(t) = f(α(t)) die Bildkurve von α auf 2 und 𝔞1(t) = f(a(t)) das Bild des Vektorfeldes a bei der linearen tangierenden Abbildung f (Differentialgeometrie), so gilt \begin{eqnarray}{f}_{* }(\frac{D\text{a}(t)}{d\,t})=\frac{D{f}_{* }(\text{a}(t))}{d\,t}.\end{eqnarray}

Der Name ,affin‘ rührt daher, daß eine solche Abbildung nicht nur die geodätischen Linien von 1 in geodätische Linien von 2 überführt, sondern auch den affinen Parameter erhält, eine Eigenschaft, die sie mit den affinen Abbildungen der Theorie der affinen Räume teilt. Damit ist jede affine Abbildung auch eine geodätische Abbildung.

Der Name „affine Abbildung“ wird auch für differenzierbare Abbildungen von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten gebraucht, die mit affinen Zusammenhängen verträglich sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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