Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: affine Ebene

ein affiner Raum der Dimension 2. In der Sprache der endlichen Geometrie kann man folgende, mehr explizite Definition einer affinen Ebene geben: Eine affine Ebene ist eine Inzidenzstruktur aus Punkten und Geraden, die die folgenden Axiome erfüllt:

  • Durch je zwei Punkte geht genau eine Gerade.
  • Ist g eine Gerade und P ein Punkt, der nicht auf g liegt, so gibt es genau eine Gerade durch P, die g nicht schneidet.
  • Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Das wichtigste Beispiel einer affinen Ebene ist die euklidische Ebene.

Ist allgemeiner V ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper K, 𝒫 die Menge der Punkte von V und die Menge der Nebenklassen der eindimensionalen Unterräume von V, so ist (mit dem „Enthaltensein“ als Inzidenz) (𝒫, ℒ, I) eine affine Ebene. Die auf diese Art erhaltenen affinen Ebenen sind genau diejenigen Ebenen, in denen der Satz von Desargues gilt. Ist K sogar ein Körper, so erhält man eine affine Ebene, in der der Satz von Pappos gilt.

Ist die Menge der Punkte einer affinen Ebene endlich, so spricht man von einer endlichen affinen Ebene. In einer solchen enthält jede Gerade die gleiche Anzahl 𝓆 von Punkten. Die Zahl 𝓆 heißt Ordnung der affinen Ebene. Eine wichtige Klasse endlicher affiner Ebenen sind die Translationsebenen.

Die Menge der Geraden einer affinen Ebene zerfällt in Parallelenscharen von Geraden, die jeweils die Punktmenge partitionieren. Fügt man einer affinen Ebene die Parallelenscharen als „uneigentliche Punkte“ hinzu und verbindet die uneigentlichen Punkte mit einer „uneigentlichen Geraden“, so erhält man eine projektive Ebene. Diese Konstruktion ist umkehrbar.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos