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Lexikon der Mathematik: AL- und AM-Räume

spezielle Banach-Verbände. Ein Banach-Verband, in dem \begin{eqnarray}\Vert x+y\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert & \forall x,y\ge 0\end{eqnarray}

gilt, heißt AL-Raum (abstrakter L-Raum), und ein Banach-Verband, in dem \begin{eqnarray}\Vert x\vee y\Vert =\max \{\Vert x\Vert, \Vert y\Vert \} & \forall x,y\ge 0\end{eqnarray}

gilt, heißt AM-Raum (abstrakter M-Raum). Besitzt die abgeschlossene Einheitskugel eines AM-Raums ein größtes Element, so spricht man von einem AM-Raum mit Einheit.

Ist X ein AM-Raum, so ist X ein AL-Raum; und ist X ein AL-Raum, so ist X ein AM-Raum mit Einheit. Beispiele für AL-Räume sind 1, L1[0, 1] und der Raum der Maße M[0, 1], Beispiele für AM-Räume sind c0, C[0, 1] und L[0, 1]. Umgekehrt ist jeder AL-Raum zu einem Raum L1(μ) als Banach-Verband isometrisch isomorph, und jeder AM-Raum mit Einheit ist zu einem Raum stetiger Funktionen C(K) als Banach-Verband isometrisch isomorph (Darstellungssatz von Kakutani-Krein).

[1] Schaefer, H. H.: Banach Lattices and Positive Operators. Springer Berlin/Heidelberg, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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