Lexikon der Mathematik: AL- und AM-Räume
spezielle Banach-Verbände. Ein Banach-Verband, in dem
gilt, heißt AL-Raum (abstrakter L-Raum), und ein Banach-Verband, in dem
gilt, heißt AM-Raum (abstrakter M-Raum). Besitzt die abgeschlossene Einheitskugel eines AM-Raums ein größtes Element, so spricht man von einem AM-Raum mit Einheit.
Ist X ein AM-Raum, so ist X′ ein AL-Raum; und ist X ein AL-Raum, so ist X′ ein AM-Raum mit Einheit. Beispiele für AL-Räume sind ℓ1, L1[0, 1] und der Raum der Maße M[0, 1], Beispiele für AM-Räume sind c0, C[0, 1] und L∞[0, 1]. Umgekehrt ist jeder AL-Raum zu einem Raum L1(μ) als Banach-Verband isometrisch isomorph, und jeder AM-Raum mit Einheit ist zu einem Raum stetiger Funktionen C(K) als Banach-Verband isometrisch isomorph (Darstellungssatz von Kakutani-Krein).
[1] Schaefer, H. H.: Banach Lattices and Positive Operators. Springer Berlin/Heidelberg, 1974.
Schreiben Sie uns!