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Lexikon der Mathematik: Albanese-Abbildung

der im folgenden hergeleitete Morphismus α zwischen Varietäten: Zu jeder irreduziblen algebraischen Varietät V gibt es eine abelsche Varietät A und eine Morphismus α : V × VA, der die Diagonale auf Null abbildet und folgende Universalitätseigenschaft besitzt: Wenn B abelsche Varietät ist und β : V × VB ein Morphismus mit derselben Eigenschaft wie α, so ist β = φα mit einem eindeutig bestimmten Morphismus φ : AB.

A heißt dann Albanese-Varietät von V und α die Albanese-Abbildung. Für jedes P0V erhält man einen Morphismus αP0 : VA, αP0 (P) = α(P0, P), diesen nennt man ebenfalls Albanese-Abbildung.

Es gilt αP1 = αP0αP0 (P1), und αP0 ist universeller Morphismus von V in eine abelsche Varietät mit αP0 (P0) = 0.

Ist B = αP0 (V) ⊂ A, so heißt der induzierte Morphismus VB die Albanese-Faserung von V. Ihr Studium ist ein wichtiges Hilfsmittel für die Klassifizierung von Varietäten. Für kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten, auf denen eine Kählermetrik existiert, gilt analoges, und die Albanese-Abbildung einer glatten projektiven Varietät im algebraischen oder komplex-analytischem Sinn sind dieselben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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