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Lexikon der Mathematik: Algebra der holomorphen Funktionen

die Menge aller in einer offenen Menge D ⊂ ℂ holomorphen Funktionen, üblicherweise bezeichnet mit 𝒪(D).

Bezüglich der punktweisen Skalarmultiplikation, Addition und Multiplikation von Funktionen ist 𝒪(D) eine kommutative ℂ-Algebra mit Einselement.

Die Theorie holomorpher Funktionen unterscheidet sich fundamental von der Theorie reell differenzierbarer Funktionen: Holomorphe Funktionen sind in Potenzreihen (der komplexen Variablen z) entwickelbar. Die Möglichkeit hierzu liefert die Cauchysche Integralformel \begin{eqnarray}f({\mathscr{z}})=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial G}\frac{f(\zeta )}{\zeta -{\mathscr{z}}}d\zeta, {\mathscr{z}}\in G,\end{eqnarray}

die für holomorphe Funktionen auf geeigneten Gebieten G ⊂ ℂ gilt. Mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel erhält man die wesentlichen Sätze über das lokale Verhalten holomorpher Funktionen: Hebbarkeit isolierter Singularitäten bei beschränkten Funktionen, Maximumsprinzip, Gebietstreue, Identitätssatz.

Im folgenden sei D = G ein Gebiet. Dann ist 𝒪(G) ein Integritätsring, also nullteilerfrei, d. h. aus fg = 0 folgt f = 0 oder g = 0. Die Einheiten in 𝒪(G) sind genau die nullstellenfreien Funktionen. Ein Element f𝒪(G) ist ein Primelement genau dann, wenn f von der Form f(𝓏) = (𝓏 − 𝓏0)g(𝓏) ist, wobei 𝓏0G und g eine Einheit in 𝒪(G) ist.

Eine Funktion mit unendlich vielen Nullstellen läßt sich also nicht als endliches Produkt von Primelementen schreiben, und daher ist 𝒪(G) nicht faktoriell.

Für f𝒪(G) sei N(f) die Menge aller Nullstellen von f, und für 𝓏 ∈ N(f) sei o(f, 𝓏) die Nullstellenordnung; ist 𝓏 ∈ G \ N(f), so sei o(f, 𝓏) := 0. Sind f, g𝒪(G), so ist f ein Teiler von g genau dann, wenn N(f) ⊆ N(g) und o(f, 𝓏) ≤ o(g, 𝓏) für alle 𝓏 ∈ N(f).

Jede Teilmenge S ≠ ∅ von 𝒪(G) besitzt einen ggT. Genauer gilt: Ist \begin{eqnarray}N:=\displaystyle \mathop{\cap }\limits_{g\in S}N(g)\end{eqnarray}

und f𝒪(G) mit N(f) = N und \begin{eqnarray}o(f,{\mathscr{z}})=\mathop{\min }\limits_{g\in S}\,o(g,{\mathscr{z}})\end{eqnarray}

für 𝓏 ∈ N, so ist f = ggT (S). Insbesondere ist S teilerfremd genau dann, wenn N = ∅.

Sind f1,…, fn𝒪(G) und f = ggT { f1,…, fn}, so gibt es Funktionen g1,…, gn𝒪(G) mit \begin{eqnarray}f={g}_{1}{f}_{1}+\cdots +{g}_{n}{f}_{n}.\end{eqnarray}

Es sei A = {an : n ∈ ℕ} eine abzählbar unendliche Teilmenge von G ohne Häufungspunkt in G. Dann ist \begin{eqnarray}{\mathfrak{a}} & := & \{f\in {\mathscr{O}}(G):\exists {n}_{0}={n}_{0}(f)\in {\mathbb{N}}:\\ & & f({a}_{n})=0\forall n\ge {n}_{0}\}\end{eqnarray}

ein Ideal in 𝒪(G), das nicht endlich erzeugbar ist. Also ist der Ring 𝒪(G) nicht Noethersch und insbesondere kein Hauptidealring. Andererseits ist jedes endlich erzeugte Ideal in 𝒪(G) ein Hauptideal.

Eine Teilmenge S von 𝒪(G) heißt abgeschlossen, wenn für jede Folge (fn) in S, die in G kompakt gegen ein f𝒪(G) konvergiert, gilt: fS. Ein Ideal in 𝒪(G) ist ein Hauptideal genau dann, wenn es abgeschlossen ist. Insbesondere ist jedes abgeschlossene maximale Ideal m ein Hauptideal, und m wird von einer Funktion f der Form f(𝓏) = 𝓏 − 𝓏0 mit 𝓏0G erzeugt.

Schließlich besitzt 𝒪(G) Primideale 𝔭 ≠ {0}, die nicht maximal sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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