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Lexikon der Mathematik: Algebra der konvergenten Potenzreihen

Menge 𝒜 aller Potenzreihen der Form \begin{eqnarray}f=\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_{k}{{\mathscr{z}}}^{k}\end{eqnarray}, ak ∈ ℂ mit positivem Konvergenzradius.

Offensichtlich ist 𝒜 eine ℂ-Unteralgebra von \begin{eqnarray}\bar{{\mathscr{A}}}\end{eqnarray}, der Algebra der formalen Potenzreihen. Es gilt \begin{eqnarray}{\mathscr{A}} & = & \{f=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{a}_{k}{{\mathscr{z}}}^{k}\in \bar{{\mathscr{A}}}:\exists s\gt 0,\,\exists M\ge 0:\\ & & \,|{a}_{k}|{s}^{k}\le M\forall k\in {{\mathbb{N}}}_{0}\}.\end{eqnarray}

Wie \begin{eqnarray}\bar{{\mathscr{A}}}\end{eqnarray} ist auch 𝒜 ein Integritätsring. Ein Element f𝒜 ist eine Einheit in 𝒜 genau dann, wenn f(0) ≠ 0. Der Ring 𝒜 ist faktoriell, und das Element 𝓏 ist (bis auf Multiplikation mit einer Einheit) das einzige Primelement von 𝒜. Der Quotientenkörper 𝒬(𝒜) besteht aus allen Reihen der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }{a}_{k}{{\mathscr{z}}}^{k},n\in {\mathbb{Z}},\end{eqnarray}

wobei \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{a}_{k}{{\mathscr{z}}}^{k}\in A.\end{eqnarray}

Weiter ist 𝒜 ein Hauptidealring; jedes Ideal I ≠ {0} von 𝒜 ist von der Form I = 𝒜𝓏n mit n ∈ ℕ. Die Menge 𝔪(𝒜) aller Nichteinheiten von 𝒜 ist ein maximales Ideal von 𝒜, es gilt 𝔪(𝒜) = 𝒜𝓏, und 𝔪(𝒜) ist das einzige Primideal ≠ {0} von 𝒜.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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