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Lexikon der Mathematik: Algebra

Ursprünglich verstand man unter (dem mathematischen Gebiet) Algebra das Lösen algebraischer Gleichungen, d. h. die Bestimmung der Nullstellen von Polynomen mit ganzen oder rationalzahligen Koeffizienten.

Zur Bewältigung dieser Aufgabe wurde es notwendig, über die Grundrechungsarten hinaus komplexere Operationen zu betrachten, wie etwa die Hinzunahme von Wurzelausdrücken (den Radikalen) in den Koeffizienten der Gleichung oder die Hinzunahme „imaginärer Zahlen“ (Quadratwurzeln aus negativen Zahlen). In dieser Weise wurden im 16. Jahrhundert Lösungsformeln für die Gleichungen 3. und 4. Grades entwickelt.

Aufbauend auf der Theorie der „ Substitutionen ” (u. a. bereits von Gauss und Lagrange benutzt) entwickelte Galois seine Theorie über die Beziehung der Gruppe von Substitutionen (der Galoisgruppe) einer vorgelegten Gleichung und dem kleinsten Körper, der alle ihre Nullstellen enthält. Damit war es möglich, systematische Aussagen über die Lösbarkeit (bzw. Nichtlösbarkeit) der Gleichung zu beweisen. Insbesondere zeigt der Satz von Abel, daß es für die allgemeine algebraische Gleichung vom Grad größer gleich 5 keinen Lösungsalgorithmus geben kann, der ausgehend von den Koeffizienten der Gleichung in einer Abfolge von rationalen Operationen und Wurzelziehen besteht.


Im selben Maße wie sich diese Methoden entwickelten, wurde der Begriff der Algebra erweitert. Heute versteht man unter Algebra die Theorie der Verknüpfungen auf einer Menge. Eine (zweistellige) Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung \begin{eqnarray} \circ : M \times M \rightarrow M , \: \: \: (x,y) \longmapsto x \circ y \: , \end{eqnarray} für die weitere Eigenschaften vorausgesetzt werden. Beispiele zusätzlicher Eigenschaften sind das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements, die Existenz inverser Elemente zu jedem Element, usw.

Eine derart erhaltene Struktur (M, ◦) heißt algebraische Struktur. Eine algebraische Struktur, welche die drei obigen Eigenschaften erfüllt, heißt Gruppe. Eine weitere Eigenschaft von Bedeutung ist die Kommutativität der Verknüpfung, d. h. x◦y = y ◦ x. Eine Gruppe, für welche die Verknüpfung kommutiert, heißt abelsche Gruppe.


In der Algebra studiert man auch mehrstellige Verknüpfungen und insbesondere auch Mengen die mehrere Verknüpfungen besitzen, zwischen denen gewisse Verträglichkeitsrelationen gelten. Beispiele solcher Strukturen bilden die Körper mit der Verknüpfung + (der Addition) und • (der Multiplikation). Die Verträglichkeitsrelationen sind die Distributivgesetze.


Von großer Bedeutung sind algebraische Strukturen, die aus mehreren Mengen, Verknüpfungen innerhalb der einzelnen Mengen und Verknüpfungen zwischen den Mengen bestehen. Beispiel hierfür ist der Begriff des Vektorraums V über einem Körper K, mit der Addition und Multiplikation innerhalb des Körpers K, der Addition im Vektorraum V und der Multiplikation der Skalaren (den Elementen des Körpers) mit den Vektoren K × V → V. Die Verträglichkeitsbedingungen werden in den Axiomen des Vektorraums ausgedrückt. Ein weiteres Beispiel einer solchen Struktur sind die Algebren über einem Ring R.


Abhängig von den Gesetzen der behandelten algebraischen Strukturen unterteilt man die Algebra in Teilbereiche.

Die Lineare Algebra ist die Theorie der Vektorräume über Körpern oder allgemeiner der Moduln über Ringe. Sie beinhaltet speziell die Lösungstheorie der linearen Gleichungssysteme. Die Körpertheorie beschäftigt sich mit Körpern und Körpererweiterungen. In ihrem Rahmen wird die Lösungstheorie algebraischer Gleichungen behandelt.

Die Gruppentheorie untersucht Gruppen. Sie macht via Galois-Theorie ebenfalls Aussagen über die Lösungstheorie algebraischer Gleichungen. Weitere wichtige Teilbereiche sind die Ringtheorie, die Theorie der Algebren über einem Ring, die kommutative Algebra (mit den kommutativen Ringen und den Moduln über diesen als Untersuchungsobjekten) und die homologische Algebra.


Es gibt aber auch algebraische Theorien, die sich mit Bereichen beschäftigen, die außerhalb des historischen Ursprungs sind.

Die Boolesche Algebra ist eine algebraische Struktur aus der Logik.

Die Theorie der Kategorien beschäftigt sich in einer übergeordneten Weise mit der Struktur von algebraischen und anderen Strukturen und ihren Beziehungen untereinander.


Der Zahlentheorie liegen selbstverständlich ebenfalls algebraische Strukturen zugrunde. Es handelt sich hierbei um das Studium der Zahlen, eines einzelnen (wenn auch sehr wichtigen) Objekts. Daneben kommen zum Lösen zahlentheoretischer Probleme auch wichtige Konzepte der Analysis im Rahmen der analytischen Zahlentheorie zum Einsatz. Man betrachtet deshalb meist die Zahlentheorie als eigenständige Disziplin neben der Algebra. Ihre mehr algebraisch orientierten Bereiche bezeichnet man als algebraische Zahlentheorie.


Algebraische Theorien und Resultate werden in vielen anderen Gebieten der Mathematik eingesetzt. In einigen dieser Felder haben sich spezielle algebraische Methoden zu eigenständigen Teildisziplinen entwickelt und werden mit eigenen Namen bedacht. Neben der bereits oben erwähnten algebraischen Zahlentheorie sind dies z. B. die algebraische Geometrie, die algebraische Topologie usw. Mit einer gewissen Berechtigung könnte man einige dieser Bereiche auch direkt der Algebra zuordnen. Dies betrifft etwa die algebraische Geometrie oder die algebraische Zahlentheorie. Beide Bereiche haben ebenfalls die Untersuchung algebraischer Objekte zu ihrem Gegenstand.


Letztendlich ist es jedoch nicht immer sinnvoll, schematisch auf einer Abgrenzung zu bestehen. So werden wichtige Impulse auch aus den Anwendungen der Algebra in die Algebra zurück gegeben und fördern die weitere Entwicklung der Algebra.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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