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Lexikon der Mathematik: σ-Algebra

σ-Mengenalgebra, Bezeichnung für ein speziell strukturiertes Mengensystem, ein zentraler Begriff in der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.

Es sei Ω eine Menge, \({\mathcal{P}}(\Omega)\) die zugehörige Potenzmenge, und \({\mathcal{A}}\subseteq {\mathcal{P}}(\Omega)\) eine Menge von Untermengen von Ω. Dann heißt \({\mathcal{A}}\)σ-Algebra in Ω, falls gilt:

  1. Mit \(({A}_{i}|i\in {\mathbb{N}})\subseteq {\mathcal{A}}\,\text{ist}\,\displaystyle {\bigcap}_{i\in {\mathbb{N}}}{A}_{i}\in {\mathcal{A}}.\)
  2. Mit \(({A}_{1},{A}_{2})\subseteq {\mathcal{A}},\,\text{wobei}\,{A}_{1}\supseteq {A}_{2},\,\text{ist}\,{A}_{1}\backslash {A}_{2}\in {\mathcal{A}}\).
  3. \(\Omega \in {\mathcal{A}}\).
Die Elemente von \({\mathcal{A}}\) heißen die meßbaren Untermengen in Ω und das Tupel (Ω, \({\mathcal{A}}\)) Meßraum. Eine σ-Algebra ist auch ein σ-Ring, wie auch eine Mengenalgebra. Eine σ-Algebra ist genau die Mengensystemstruktur, auf der ein Maß am besten operiert.

Der Schnitt beliebig vieler σ-Algebren ist wieder eine σ-Algebra. Ist \({\mathcal{E}} \subseteq {\mathcal{P}}(\Omega)\), so ist \(\sigma ({\mathcal E})\) der Schnitt aller σ-Algebren auf Ω, die \( {\mathcal E} \) enthalten, und somit wieder eine σ-Algebra; genauer ist \(\sigma ({\mathcal E})\) die kleinste σ-Algebra auf Ω, die \( {\mathcal E} \) enthält.

\(\sigma ({\mathcal E})\) wird die von \( {\mathcal E} \) auf Ω erzeugte σ-Algebra genannt, und \( {\mathcal E} \) ein Erzeuger von \(\sigma ({\mathcal E})\).

Existiert eine abzählbare Menge \(\sigma ({\mathcal E})={\mathcal{A}}\), so heißt \({\mathcal{A}}\) abzählbar erzeugt. Ist Ω eine Menge, \((({\Omega}_{i},{{\mathcal{A}}}_{i})|i\in I)\) eine Familie von Meßräumen, und \(({f}_{i}:\Omega \to {\Omega}_{i}|i\in I)\) eine Familie von Abbildungen, dann heißt \begin{eqnarray}{\mathcal{A}}:=\sigma (\displaystyle \mathop{\bigcup}\limits_{i\in I}{f}_{i}^{-1}({{\mathcal{A}}}_{i}))\end{eqnarray} die von der Familie (fi |iI) in Ω erzeugte σ-Algebra. \({\mathcal{A}}\) ist die kleinste σ-Algebra auf Ω, für die alle \({f}_{i}({\mathcal{A}}-{{\mathcal{A}}}_{i})\)-meßbar sind.

Gilt anstelle von (c) lediglich

(c’) Zu paarweise disjunkter Menge \(\{{A}_{n}|n\in {\mathbb{N}}\}\subseteq {\mathcal{A}}\) existiert ein \(A\in {\mathcal{A}}\) mit \(\displaystyle {\bigcup}_{n\in {\mathbb{N}}}{A}_{n}\subseteq A,\) so wird \({\mathcal{A}}\)σ-Mengenring oder σ-Ring genannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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