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Lexikon der Mathematik: algebraische Fläche

im engeren Sinne eine zweidimensionale glatte komplette algebraische Varietät. Algebraische Flächen sind projektiv. Weitere Eigenschaften (die im höher-dimensionalen Fall nicht gelten) sind:

  1. Jeder birationale Morphismus ist Komposition von endlich vielen Aufblasungen von Punkten.
  2. Sei φ : SX ein Morphismus einer algebraischen Fläche in einem Schema X mit zusammenhängenden Fasern, F eine eindimensionale Faser mit dem irreduziblen Kompontenten C1, ···, Cr, und L die freie abelsche Gruppe, die von C1, ···, Cr erzeugt wird, mit dem Schnittpunkt als quadratischer Form. Wenn φ(S) zweidimensional ist, so ist L mit dem Schnittprodukt negativ definit. Wenn φ(S) eindimensional ist, so ist die quadratische Form auf L negativ vom Rang r − 1, und F ist isotrop.
  3. (Hodge-Index-Satz) Sei 0 ein Geradenbündel auf der Fläche S mit (0 ·0) > 0. Ist (·0)) = 0 für ein Geradenbündel , so ist (·) < 0 oder ℒ ist numerisch äquivalent zu 0 (d. h. ( · 1) = 0 für jedes Geradenbündel 1).

Man vergleiche hierzu auch algebraischer Funktionenkörper.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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