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Lexikon der Mathematik: algebraische Kurve

eindimensionale algebraische Varietät. Eine besondere Rolle spielen die kompletten glatten algebraischen Kurven (algebraischer Funktionenkörper). Die wichtigste Invariante ist das Geschlecht g und der wichtigste Satz ist der klassische Satz von Riemann-Roch:

Zu jeder glatten kompletten algebraischen Kurve C gibt es eine natürliche Zahl g, das Geschlecht von ℂ, so daß für jeden Divisor D gilt: \begin{eqnarray}{h}^{0}(C,{{\mathscr{O}}}_{C}(D))-{h}^{0}(C,{\omega }_{C}(-D))=\deg D+1-g.\end{eqnarray}

Hierbei ist h0(C, ℱ) die Dimension des Raumes der globalen Schnitte der kohärenten Garbe , ωC ist die Garbe der 1-Formen, und ωC(−D) = ωC𝒪(−D). Speziell ergibt sich für D = 0 und D = k ein kanonischer Divisor, d. h. 𝒪(k) ≃ ωC

Topologisch (d. h. für k = ℂ) ist g das Geschlecht der zugrundeliegenden kompakten Riemannschen Fläche. Wenn C eine Einbettung in die projektive Ebene besitzt, als Kurve vom Grad d, so ist \begin{eqnarray}g=\frac{(d-1)(d-2)}{2},\end{eqnarray}

aus diesem Grund läßt sich nicht jede Kurve in die projektive Ebene einbetten. Aus dem Satz von Riemann-Roch erhält man z. B. die Aussagen: Kurven vom Geschlecht 0 sind isomorph zu ℙ1(k), Kurven vom Geschlecht 1 sind die elliptischen Kurven, sie lassen sich als Kurve vom Grad 3 in die Ebene einbetten. Für Kurven vom Geschlecht g ≥ 2 definiert das lineare System |ωC| einen Morphismus ϕ : C→ℙg−1(k) (dies ist im allgemeinen eine Einbettung), oder ϕ(C) ist eine zu ℙ1(k) isomorphe Kurve und Cϕ(C) ist eine Doppelüberlagerung mit 2g + 2 Verzweigungspunkten. Solche Kurven heißen hyperelliptische Kurven. Jede affine ebene Kurve mit einer Gleichung y2 = f(x), f(x) ein Polynom vom Grad 2g + 1 oder 2g + 2 ohne mehrfache Nullstellen, ist hyperelliptisch.

Ein anderer Aspekt ist die Theorie der Raumkurven. Jede glatte Kurve läßt sich in den projektiven Raum einbetten, die wichtigste numerische Invariante einer solchen Einbettung ist der Grad. Es ist bis heute (2000) nicht genau bekannt, welche Paare (g, d) als Geschlecht und Grad einer Raumkurve auftreten können, ein allgemeines Ergebnis ist Castelnuovos Schranke:

Für eine glatte Raumkurve vom Geschlecht g und Grad d, die nicht in einer Ebene liegt, gilt d ≥ 3 und \begin{eqnarray}g\le [\frac{1}{4}{d}^{2}-d+1].\end{eqnarray}

Diese Schranke ist scharf, und wenn sie angenommen wird, liegt die Kurve auf einer Quadrik. Kurven, für die diese Schranke angenommen wird, heißen auch Castelnuovo-Kurven.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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