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Lexikon der Mathematik: algebraische Logik

Bezeichnung für eine frühe Etappe in der Entwicklung der mathematischen Logik, die von G. Boole eingeleitet wurde.

In der algebraischen Logik, auch Algebra der Logik genannt, werden algebraische Begriffe und Methoden benutzt, um Untersuchungen zur Logik durchzuführen. Dabei wurden grundlegende Analogien zwischen den Eigenschaften logischer Konnektoren und Boolescher Operationen festgestellt.

Ist T eine elementare Theorie, dann sei [φ] := {ψ : T |= φψ} die Menge aller Ausdrücke aus L, die mit φ logisch äquivalent sind. Da die logische Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist, bilden die Äquivalenzklassen [φ] eine Zerlegung der Menge aller Ausdrücke. Die algebraische Struktur 𝒜 := ⟨A, ∩, ∪, ⟩ mit der Trägermenge A ={[φ] : φ Ausdruck in L} und den Operationen [φ] ∩ [ψ] := [φψ], [φ] ∪ [ψ] := [φψ], [φ] := [¬φ] heißt Lindenbaum-Algebra. Für die zweiwertige Logik ist die Lindenbaum-Algebra eine Boolesche Algebra mit dem Einselement 1 := {φ : Tφ} (Menge aller Theoreme der Theorie T) und dem Nullelement 0 := {φ : T ⊨ ¬φ} (Menge aller Kontradiktionen von T).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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