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Lexikon der Mathematik: algebraische Menge

Nullstellenmenge von Polynomen. Im folgenden sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Ein n-dimensionaler affiner Raum wird durch Wahl eines affinen Koordinaten-systems mit dem Raum 𝔸n(k) = kn aller n-Tupel mit Koeffizienten aus k identifiziert, und die Algebra der ganz-rationalen Funktionen wird dabei mit der Polynomalgebra k[X1, ···, Xn] identifziert. Eine affine algebraische Menge V = V(F) in 𝔸n(k) ist eine Teilmenge, die aus der Menge aller gemeinsamen Nullstellen einer Menge Fk [X1, ···, Xn] von Polynomen besteht.

Ist I das von F erzeugte Ideal, so ist FI und V(F) = V(I). Nach Hilberts Basissatz besitzt das Ideal I ein endliches Erzeugendensystem, daher ist jede algebraische Menge durch ein endliches Polynomgleichungssystem definiert. Ein grundlegender Fakt ist Hilberts Nullstellensatz (schwache Form):

Ist Ik [X1, ···, Xn] ein Ideal und V(I) = ∅, so ist I = k [X1, ···, Xn].

Hieraus folgt die äquivalente, scheinbar aber stärkere Formulierung:

Ist I ein Ideal in k [X1, ···, Xn], fk [X1, ···, Xn] und f | V(I) ≡ 0, so gibt es eine natürliche Zahl N mit fNI.

Um diese Form aus der schwachen Form herzuleiten, betrachtet man k[X1, ···, Xn] ⊂ k[X1, ···, Xn+1]. Das von I und dem Polynom Xn+1f − 1 erzeugte Polynomideal hat keine Nullstelle, also gibt es nach der schwachen Form des Nullstellensatzes eine Relation \begin{eqnarray}1={g}_{0}({X}_{n+1}f-1)+\displaystyle \sum _{j}{g}_{j}{f}_{j}\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}{f}_{1},\cdots, {f}_{r}\in I,{g}_{0},\cdots, {g}_{r}\in k[{X}_{1},\cdots, {X}_{n+1}].\end{eqnarray}

Substituiert man \begin{eqnarray}({X}_{1},\cdots, {X}_{n},\frac{1}{f})\in k({X}_{1},\ldots, {X}_{n})\end{eqnarray}

in diese Relation, erhält man \begin{eqnarray}1=\displaystyle \sum _{j=1}^{r}{g}_{j}({X}_{1},\cdots, {X}_{n},\frac{1}{f}){f}_{j},\end{eqnarray}

und nach Multiplikation mit fN für eine hinreichend große Zahl N folgt fNI.

Ein n-dimensionaler projektiver Raum wird durch Wahl von homogenen Koordinaten mit ℙn(k) = kn+1\{0}/k∗ identifiziert. Homogene Koordinaten sind allerdings keine Funktionen auf ℙn(k), nur für homogene Polynome f(X0, ···, Xn) ∈ k[X0, ···, Xn] hat die Aussage „a ∈ ℙn(k) ist Nullstelle von f“ einen Sinn. Daher macht es auch Sinn, Nullstellenmengen homogener Polynomideale I in ℙn(k) zu definieren, solche Mengen V = V+(I) heißen projektive algebraische Mengen. Es gilt Hilberts Nullstellensatz (projektive Variante):

Sei Ik [X0, ···, Xn] ein homogenes Ideal und fk [X0, ···, Xn] ein homogenes Polynom.

Wenn f | V+(I) ≡ 0, so gibt es eine natürliche Zahl ℕ mit fNI.

Eine algebraische Menge V heißt irreduzibel, wenn sie nicht Vereinigung von zwei echten, nichtleeren algebraischen Teilmengen ist. Für das größte Ideal I = IV = {f; f|V = 0} mit V(I) = V (bzw. V+(I) = V) bedeutet dies: I ist ein Primideal. Jede algebraische Menge V besitzt eine eindeutige Darstellung als Vereinigung endlich vieler irreduzibler algebraischer Mengen, genannt die irreduziblen Komponenten von V.

Bezüglich der Standardeinbettung 𝔸n(k) ⊂ ℙn(k) besteht eine bijektive Korrespondenz zwischen algebraischen Teilmengen von 𝔸n(k) und solchen algebraischen Teilmengen von ℙn(k), die keine Komponente in der „unendlich fernen“ Hyperebene V+(X0) = ℙn(k) \ 𝔸n(k) haben. Diese Korrespondenz wird in der einen Richtung durch Schneiden mit 𝔸n(k), und in der anderen Richtung durch topologische Abschließung in der Zariski-Topologie gegeben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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