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Lexikon der Mathematik: algebraische Struktur

Quadrupel 𝒜 = ⟨A, FA, RA, CA⟩, bestehend aus einer nichtleeren Menge A (der Trägermenge, dem Universum oder dem Individuenbereich von 𝒜, deren Elemente die Individuen von 𝒜 genannt werden), einer Familie FA von Operationen oder Funktionen über A, die auch leer sein darf, einer nichtleeren Familie RA von Relationen über A, die in der Regel die Gleichheitsrelation enthält, und einer Familie CA von ausgezeichneten Elementen aus A. Die Funktionen und Relationen besitzen eine fixierte Stellenzahl.

Das Tripel σ = (Fσ, Rσ, Cσ), bestehend aus den Familien Fσ bzw. Rσ aller Stellenzahlen der Funktionen aus FA bzw. aller Relationen aus RA (wobei mehrfach auftretende Stellenzahlen entsprechend ihrer Vielfalt zu zählen sind) und der Anzahl Cσ der Elemente aus CA, heißt Signatur von 𝒜.

In diesem Sinne ist z. B. der geordnete Körper der reellen Zahlen ℝ = ⟨R, +, ·, =, < , 0, 1⟩ eine algebraische Struktur mit der Signatur σ = ((2, 2), (2, 2), 2).

In der Regel wird vereinbart, daß die Gleichheitsrelation zu jeder Struktur gehört, sodaß sie bei der Angabe einer Struktur und ihrer Signatur nicht mehr berücksichtigt wird. Eine Struktur, in der keine Funktion, sondern höchstens Relationen (zumindest die Gleichheitsrelation) auftreten, heißt Relationalstruktur. Die einstelligen Relationen in 𝒜 sind Teilmengen von A. Damit lassen sich auch mehrsortige Strukturen, wie z. B. die der Elementargeometrie, in deren Trägermenge Punkte, Geraden, Ebenen, … auftreten, als algebraische Strukturen im obigen Sinne auffassen, indem die verschiedensortigen Elemente durch einstellige Relationen aus der Trägermenge ausgesondert werden. Hierbei sind die Funktionen jedoch dann partiell definiert (wie z. B. die Division in Körpern). Durch triviale Wertzuweisungen kann man diese Funktionen auch auf die gesamte Trägermenge erweitern.

Die Mächtigkeit einer algebraischen Stuktur wird durch die Mächtigkeit ihrer Trägermenge bestimmt. Der Körper der reellen Zahlen besitzt somit die Mächtigkeit des Kontinuums, der Ring der ganzen Zahlen ist abzählbar unendlich.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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