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Lexikon der Mathematik: algebraische Varietät

ein im folgenden konstruierter Cartanscher Raum.

Ist V ⊂ 𝔸n(k) affine algebraische Menge über dem algebraisch abgeschlossenen Körper k, UV offen in der Zariski-Topologie, so heißt eine Funktion f : Uk rational, wenn sie sich lokal als Quotient von ganz-rationalen Funktionen, eingeschränkt auf U, schreiben läßt. Mit 𝒪V (U) bezeichne man die Menge der rationalen Funktionen f : Uk. Durch U𝒪V (U) erhält man eine Garbe von lokalen k-Algebren auf V bzgl. der Zariski-Topologie.

Jeder zu (V, 𝒪V) k-isomorphe Cartansche Raum heißt dann affine algebraische Varietät, und eine algebraische Varietät ist nun ein Cartanscher Raum über k, der lokal isomorph zu affinen algebraischen Varietäten über k ist, durch endlich viele offene affine algebraische Varietäten überdeckt wird, und so, daß für offene affine algebraische Untervarietäten U1, U2 auch U1U2 affin ist und die Algebra 𝒪V (U1U2) durch die Bilder von 𝒪V (U1), 𝒪V (U2) erzeugt wird.

Die wichtigste Klasse von Beispielen sind projektive Varietäten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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