Technik zur Erweiterung der Inter-vallarithmetik auf uneigentliche Intervalle.

Neben den eigentlichen Intervallen [\begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray}] mit \begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a}\end{eqnarray} ≤ \begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray} aus 𝕀ℝ werden nach Kaucher und Markow auch uneigentliche Intervalle [\begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray}] mit \begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a}\end{eqnarray} > \begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray} betrachtet.

Für den Raum der reellen Paare \begin{eqnarray}{\mathscr{H}}=\{ [\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a},\bar a]|\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a},\bar a \in \mathbb{R}\}\end{eqnarray}

werden die Teilmengenrelation, Durchschnittsbildung und konvexe Hülle von 𝕀ℝ formal erweitert.

Es sei a = [\begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray}] ∈ ℋ und b = [\begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}\bar{b}\end{eqnarray}] ∈ ℋ; dann setzt man: \begin{eqnarray}{a \subseteq b} \hfill \, \Leftrightarrow \hfill \, {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b} \leqslant \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a} \wedge \bar a \leqslant \bar b,} \hfill \\ {a \cap b} \hfill \, = \hfill \, {[\max \{ \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a},\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b} \},\min \{ \bar a,\bar b\} ],} \hfill \\ {a\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{ \cup } b} \hfill \, = \hfill \, {[\min \{ \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a},\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b} \},\max \{ \bar a,\bar b\} ].} \hfill \\ \end{eqnarray}

Die arithmetischen Operationen von 𝕀ℝ werden konsistent auf ℋ fortgesetzt. Für Addition und Subtraktion ändern sich dabei die Formeln nicht, für Multiplikation und Division sind mehr Fälle zu unterscheiden: Sei \begin{eqnarray}{\mathscr{T}}=\{{\bf{a}}|0\in {\bf{a}}\vee {\bf{a}}\subseteq 0\}\end{eqnarray}

die Menge der erweiterten Nullintervalle und \begin{eqnarray}\sigma :H\backslash T\to \{-1,+1\}\end{eqnarray}

mit σ (a) = +1, falls \begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a}\end{eqnarray} > 0, und σ (a) = −1, falls \begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray} < 0, das Vorzeichen eines Intervalls.

Dann gilt mit a⁻¹ = \begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a}\end{eqnarray} und a⁺¹ = \begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray}: \begin{array}{*{20}c} {[\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a},\bar a] + [\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b},\bar b]} \hfill \, = \hfill \, {[\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a} + \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b},\bar a + \bar b]} \hfill \\ {[\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a},\bar a] – [\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b},\bar b]} \hfill \, = \hfill \, {[\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a} – \bar b,\bar a – \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b} ]} \hfill \\ \end{array}

Weiterhin ist

\begin{eqnarray}[\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a},\bar a] \cdot [\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b},\bar b]\end{eqnarray}\begin{array}{*{20}c} {{\text{sn }}u = 0} \hfill \, \Leftrightarrow \hfill \, {u = 2mK + 2niK^{\prime},} \hfill \\ {{\text{cn }}u = 0} \hfill \, \Leftrightarrow \hfill \, {u = (2m + 1)K + 2niK^{\prime},} \hfill \\ {{\text{dn }}u = 0} \hfill \, \Leftrightarrow \hfill \, {u = (2m + 1)K + (2n + 1)iK^{\prime},} \hfill \\ \end{array}

sowie \begin{eqnarray}[\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a},\bar a]/[\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{b},\bar b]\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\{[{{\bf{a}}}^{-\sigma ({\bf{b}})}/{{\bf{b}}}^{-\sigma ({\bf{a}})},{{\bf{a}}}^{\sigma ({\bf{b}})}/{{\bf{b}}}^{\sigma ({\bf{a}})}] & {\bf{a}}\notin {\mathscr{T}},{\bf{b}}\notin {\mathscr{T}}\\ [{{\bf{a}}}^{-\sigma ({\bf{b}})}/{{\bf{b}}}^{-\sigma ({\bf{b}})},{{\bf{a}}}^{\sigma ({\bf{b}})}{{\bf{b}}}^{-\sigma ({\bf{b}})}] & {\bf{a}}\in {\mathscr{T}},{\bf{b}}\notin {\mathscr{T}}.\end{eqnarray}

(ℋ, +) und (ℋ \ 𝒯 , ·) sind kommutative Gruppen. Die inversen Elemente zu a sind [−\begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a}\end{eqnarray}, −\begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray}] und [1/[\begin{eqnarray}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{a}\end{eqnarray}, 1/\begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray}]. Mit der Konjugation \begin{eqnarray}\bar c = \overline {[\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{c},\bar c]} = [\bar c,\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{c} ]\end{eqnarray}

gilt das bedingte Distributivgesetz: \begin{eqnarray}(\bf{a} + \bf{b}) \cdot \bf{c} = \left\{ {\begin{array}{c} \begin{gathered} \bf{a} \cdot \bf{c} + \bf{b} \cdot \bf{c} \hfill \\ {\text{falls}}\,\sigma (\bf{a}) = \sigma (\bf{b}) \hfill \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} \bf{a} \cdot \bf{c} + \bf{b} \cdot \bar \bf{c} \hfill \\ {\text{falls}}\,\sigma (\bf{a}) = – \sigma (\bf{b}) = \sigma (\bf{a} + \bf{b}) \hfill \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} \bf{a} \cdot \bar \bf{c} + \bf{b} \cdot \bf{c} \hfill \\ {\text{falls}}\,\sigma (\bf{a}) = – \sigma (\bf{b}) = – \sigma (\bf{a} + \bf{b}) \hfill \\ \end{gathered} \\ \end{array} } \right.\end{eqnarray}

Uneigentliche Intervalle können mengentheoretisch als ihre konjugierten eigentlichen Intervalle, die in Gegenrichtung durchlaufen werden, inter-pretiert werden.

Eine andere Möglichkeit ist, sie als „Löcher“ oder „Teilmengen“ ihrer Punkte anzusehen, d. h. für a ∈ ℋ \ 𝕀ℝ gilt a ⊆ a für alle a ∈ \begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray}.

Die Interpretation als Außenintervalle a = ℝ \ \begin{eqnarray}\bar{a}\end{eqnarray} führt zu Inkonsistenzen mit dieser Erweiterung der Arithmetik.

Die vervollständigte Intervallarithmetik kann verwendet werden, um Wertebereiche von Funktionen scharf einzuschließen oder algebraische Lösungen von Problemen zu bestimmen, deren punktweise Interpretation im Sinne der normalen Intervallarithmetik wieder sinnvoll ist.