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Lexikon der Mathematik: algebraische Zahl

eine komplexe Zahl, die Nullstelle eines vom Nullpolynom verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.

Als Grad δ = δ(α) einer algebraischen Zahl α bezeichnet man den kleinsten positiven Grad eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten, welches α annulliert. Das Minimalpolynom fα ist das (eindeutig bestimmte) Polynom mit rationalen Koeffizienten vom Grad δ, das α als Nullstelle hat. Das Minimalpolynom einer algebraischen Zahl ist stets irreduzibel im Polynomring ℚ[X], und es besitzt nur einfache Nullstellen. Die paarweise verschiedenen Nullstellen α1,... , αδ des Minimalpolynoms fα heißen auch die Konjugierten von α. Jede der Konjugierten αj ist ebenfalls algebraisch vom Grad δ und mit Minimalpolynom fα. Multipliziert man fα mit dem Hauptnenner seiner Koeffizienten, so erhält man das ganzzahlige Minimalpolynom von α.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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